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Determine a coordenada x do centro de massa da casca cilíndrica de espessura uniforme e pequena.

Passo 1

Sabendo que aa equação para encontrar o centro de massa é dado por:

  x - =   ∫ x c d m m  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a massa do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de massa, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de massa vamos integrar ele em relação ao ângulo assim tem a nossa massa. Lembre-se que:

ρ = d m d A

Logo,

d m = ρ d A

De modo que, se olharmos lateralmente como mostra o desenho. E tomarmos a origem na metade do trapézio, ou seja, a função que descreve a reta é

y =   - x

Observamos que o comprimento do retângulo é dado por:

L = 3 R + x

Desse modo, a área será o comprimento vezes R, variando o ângulo, com isso:

d A = 3 R + x R d θ

Portanto,

d m = ρ 3 R + x R d θ

Já sabemos que,

x =   - y

Como também, se olharmos para o triangulo, observamos uma relação trigonométrica, onde:

sin ⁡ θ = y R

y = R s i n θ

Logo,

d m = ρ 3 R - y R d θ

d m = ρ 3 R - R s i n θ R d θ

d m = ρ R 2 3 - s i n θ d θ

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a massa é dada por:

m =   ∫ 0 2 π ρ d A = ∫ 0 2 π ρ R 2 3 - s i n θ d θ  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa massa, sendo assim:

m = ρ R 2 3 θ + c o s θ 2 π   0  

m = 6 π ρ R 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d m

Cuidado! Vamos nos atentar quem é x c .

Note que ele fica no meio do retângulo que definimos como elemento de massa. Ou seja, fica na metade do comprimento menos 3R.

x c = - 3 R + 3 R + x 2

Logo, a função que acompanha esse ponto é:

x c = x - 3 R 2 =   - y + 3 R 2

Já é de conhecimento que:

y = R s i n   θ

Portanto:

x c =   - R sin ⁡ θ + 3 2

Depois é só dividir pela massa que teremos o ponto. Como já conhecemos dm é só manipulação:

∫ x c d m =   ∫ 0 2 π   - R sin ⁡ θ + 3 2 * ρ R 2 3 - s i n θ d θ

Fazendo algumas manipulações temos:

∫ x c d m = - ρ R 3 2 ∫ 0 2 π 9 - sin 2 ⁡ θ d θ

∫ x c d m =   - ρ R 3 2 9 θ - θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 2 π 0

∫ x c d m =   - ρ R 3 17 π 2

Passo 5

Agora substituindo na equação do centro de massa, temos:

x - = ∫ x c d m m =   - ρ R 3 17 π 2 6 π ρ R 2 = - 1,417 R

Em relação à extremidade esquerda temos:

x - = 3 R - 1,417 R = 1,583 R

Resposta

  x - = 1,583 R  

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