Responde Aí

Enunciado

Determine a coordenada x do centro de massa do corpo sólido homogêneo mostrado.

Passo 1

Sabendo que aa equação para encontrar o centro de massa é dado por:

  x - =   ∫ x c d m m  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a massa do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de massa, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de massa vamos integrar ele em relação a y e temos a nossa massa. Lembre-se que:

ρ = d m d V

Logo,

d m = ρ d V

De modo que, se olharmos lateralmente como mostra o desenho. E tomarmos a origem na metade do trapézio, ou seja, a função que descreve a reta é

y =   - x

Observamos que o comprimento do retângulo é dado por:

L = 3 R + x

Como o raio é R, temos que a profundidade está em relação ao eixo z e é:

2 z

Sabendo disso, o nosso volume é dado por:

d V = 3 R + x 2 z

Portanto,

d m = ρ 3 R + x 2 z

Já sabemos que,

x =   - y

Mas se observamos bem, e olharmos o problema de frente vemos uma circunferência. Na qual,

z 2 + y 2 = R 2

z = R 2 - y 2

Dessa maneira, substituindo essas informações,

ρ d V = 2 ρ 3 R - y [ R 2 - y 2 ] d y

Simplificando:

ρ d V = 2 ρ 3 R R 2 - y 2 - y R 2 - y 2 d y

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a massa é dada por:

m =   ∫ - R R ρ d V = ∫ - R R 2 ρ 3 R R 2 - y 2 - y R 2 - y 2 d y  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa massa, sendo assim:

m = 6 ρ R 1 2 y R 2 - y 2 + R 2 sin - 1 ⁡ y R R - R - 2 ρ - 1 3 R 2 - y 2 3 R - R

m = 3 π ρ R 3

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d m

Cuidado! Vamos nos atentar quem é x c .

Note que ele fica no meio do retângulo que definimos como elemento de massa. Desse modo ele é metade do comprimento menos 3R

x c = - 3 R + x + 3 R 2

Logo, a função que acompanha esse ponto é:

x c = x - 3 R 2 =   - y + 3 R 2

Depois é só dividir pela massa que teremos o ponto. Como já conhecemos dm é só manipulação:

∫ x c d m =   ∫ - R R - y + 3 R 2 2 ρ 3 R R 2 - y 2 - y R 2 - y 2 d y

Fazendo algumas manipulações temos:

∫ x c d m = - 9 2 + 1 8 π ρ R 4 =   - 35 8 π ρ R 4

Passo 5

Agora substituindo na equação do centro de massa, temos:

x - = ∫ x c d m m =   - 35 8 π ρ R 4 3 π ρ R 3 = - 35 24 R

Em relação à extremidade esquerda temos:

x - = 3 R - 35 24 R = 1,542 R

Resposta

  x - = 1,542 R  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis
Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - do setor circular.