Enunciado

Determine as coordenadas do centro de massa do corpo homogêneo.

Passo 1

Lembre-se da teoria de que as coordenadas do centroide de um objeto podem ser encontradas usando a (s) equação (ões):

X = Σ ( m x - ) Σ m Y - = Σ ( m g ) Σ m Z = Σ m z Σ m

No entanto, no caso de densidade constante ρ e um objeto bidimensional, podemos escrever a massa como:

m = p A

X = Σ ( m x - ) Σ m = Σ ( ρ A x ) Σ ρ A = ρ Σ ( A x ) ρ Σ A = Σ ( A x - ) Σ A

Fazendo o mesmo para todas equações

X = Σ ( A x ) Σ A Y = Σ ( A y - ) Σ A Z = Σ A z Σ A

Tenha muito cuidado com a localização do eixo. Eu não posso enfatizar isso o suficiente. Lembre-se de que tudo o que fazemos e o resultado será em relação a esse eixo. Lembre-se disso e esses problemas se tornam muito mais simples

Passo 2

Temos duas figuras neste caso, o Big Cube e o Small Cube que chamaremos de 1 e 2, respectivamente. O volume e o centróide da lata do Big Cube são:

V 1 = a ⋅ a ⋅ a = a 3 x ‾ 1 = a 2 y ‾ 1 = a 2 Σ 1 = a 2

Para encontrar o centróide do cubo pequeno, precisamos deslocar o eixo com 1/2 unidades em direção aos eixos x, y e z positivos. Usando isso em nossos cálculos, encontramos o Volume (o volume é negativo porque o Small Cube não é a porta de nossa figura!).

V 2 = - a 2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 = a 3 8 x - 2 = a 2 + 1 2 a 2 = 3 a 4 y - 2 = a 2 + 1 2 a 2 = 3 a 4 5 2 = a 2 + 1 2 a 2 = 3 a 4

Passo 3

Observe que as coordenadas do centroide para ambos são idênticas, o que significa que X ‾ = Y ‾ = Z ‾ . Então, usando isso e o acima:

Então, do acima, podemos encontrar X (não se esqueça que o círculo é um buraco, então subtraímos!):

X & = V 1 x → 1 + V 2 x - 2 V 1 + V 2 = a 3 a 2 - a 3 8 3 a 4 a 3 - a 3 8 = & 16 a 4 32 - 3 a 3 32 7 a 3 8 = & 13 a 4 32 ⋅ 8 7 a 3 = & 13 a 28

Resposta

X = Y = Z = 13 a 28

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