Enunciado

Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga composta.

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.

Para cada distância x (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante V e o momento fletor M em suas convenções positivas, tal que V é obtido através da soma das forças verticais e M é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.

Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços.

Passo 2

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento retangular é dada por

F R r e t = w x

E a posição do centroide é

x ¯ r e t = b 2

Mas fazendo primeiro a análise da seção C D é possível obter o valor de uma das reações, tal que:

Então, considerando o sentido anti-horário como positivo e aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto D :

∑ M D = 0 ⇒ 5 1,5 - C y 3 = 0

C y = 2,5   k N

Também, fazendo o somatório de forças para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ D y + C y - 5 = 0

D y = 5 - 2,5 = 2,5   k N

Agora, deve-se analisar o DCL de toda a viga para encontrar as outras reações de apoio. Logo, tem-se:

Com o princípio dos momentos em relação ao ponto A e tendo o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0 ⇒ B y 3 - F R r e t 3 - 5 7,5 + D y 9 = 0

B y = 3 6 3 + 37,5 - 2,5 9 3 = 23   k N

E com isso, fazendo o somatório de forças em y :

∑ F y = 0 ⇒ - A y + B y + D y - F R r e t - 5 = 0

A y = 23 + 2,5 - 3 6 - 5 = 2,5   k N

Passo 3

Após determinar as reações, faz-se uma seção entre A e B e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 0 ≤ x < 3   m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ - A y - F R r e t - V 1 = 0

V 1 x = - 2,5 - 3 x

V 1 x = - 2,5 - 3 x

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0 ⇒ M 1 + F R r e t x 2 + A y x = 0

M 1 x = - 2,5 x - 3 x x 2

M 1 x = - 3 2 x 2 - 2 , 5 x

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 1 0 = - 2,5 - 3 0 = - 2,5   k N

M 1 0 = - 3 2 0 2 - 2,5 0

V 1 3 = - 2,5 - 3 3 = - 11,5   k N

M 1 3 = - 3 2 3 2 - 2,5 3 = - 21   k N ∙ m

Passo 4

Agora, pode-se fazer o mesmo processo para o intervalo seguinte dado por 3   m ≤ x < 6   m e que terá um DCL dado por:

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0

V 2 x = 23 - 2,5 - 3 x

V 2 x = 20,5 - 3 x

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0

M 2 x = 23 ( x - 3 ) - 3 x x 2 - 2,5 x

M 2 x = - 3 2 x 2 + 20,5 x - 69

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 3 = 20,5 - 3 3 = 11,5   k N

M 3 = - 3 2 3 2 + 20,5 3 - 69 = - 21   k N ∙ m

V 6 = 20,5 - 3 6 = 2,5   k N

M 6 = - 3 2 6 2 + 20,5 6 - 69 = 0

Passo 5

Novamente, pode-se fazer o mesmo processo para o intervalo seguinte dado por 6   m ≤ x < 7,5   m e que terá um DCL dado por:

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0

V 3 x = 23 - 2,5 - 3 6

V 3 x = 2,5   k N

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0

M 3 x = 23 ( x - 3 ) - 3 ( 6 ) x - 3 - 2,5 x

M 3 x = 2,5 x - 15

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 6 = 2,5   k N

M 6 = 2,5 6 - 15 = 0

V 7,5 = 2,5   k N

M 7,5 = 2,5 7,5 - 15 = 3,75   k N ∙ m

Passo 6

Por fim é feito análise da última seção restante que se localiza entre a força de 5   k N e o ponto D para o intervalo seguinte dado por 7,5   m ≤ x < 9   m e que terá um DCL dado por:

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0

V 4 x = 23 - 2,5 - 3 6 - 5

V 4 x = - 2,5   k N

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0

M 4 x = 23 x - 3 - 3 6 x - 3 - 2,5 x - 5 x - 7,5

M 4 x = - 2,5 x + 22 , 5

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 7,5 = - 2,5   k N

M 7,5 = - 2,5 7,5 + 22,5 = 3,75   k N ∙ m

V 9 = - 2,5   k N

M 9 = - 2,5 9 + 22,5 = 0

Passo 7

Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:

E para os resultados do momento fletor:

Resposta

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