Enunciado

Determine os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar os diagramas de força cortante e de momento fletor da viga. Para isto, vamos começar desenhando o diagrama de corpo livre da nossa viga. Esboçando-o, temos:

Para que possamos determinar os diagramas pedidos na questão, será necessário determinarmos as reações nos apoios em A e B . E, para isto, substituímos o carregamento distribuído triangular por uma carga pontual igual a

F = 1 2 ⋅ 80 ⋅ 6 = 240   k N

Visto essas informações iniciais, vamos então as contas!

Passo 2

Antes de calcularmos os esforços cortantes e momento fletor de cada seção, vamos determinar as reações A x , A y e B y dos suportes.

Para isto, basta aplicarmos as equações de equilíbrio. Logo,

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ∑ M R A = 0 ⟹ B x = 0 A y + B y - 240 - 240 = 0 B y ⋅ 6 - 240 ⋅ 6 = 0

Resolvendo o sistema acima temos A x = 0 , A y = 240   k N e B y = 240   k N . Este era um resultado esperado, visto que a viga é simétrica!

Passo 3

Agora que obtivemos as reações nos apoios, vamos poder obter as equações que definem o momento fletor e esforço cortante.

A análise da nossa viga vai ter que ser dividida em quatro seções, conforme indicado na Figura do Passo 1.

Então, vamos começar analisando a seção 1. Fazendo um corte nesta seção, teremos o seguinte diagrama:

Sendo 0 < x < 3   m .

Agora, só precisamos aplicar as equações de equilíbrio. Portanto:

∑ F y = 0 ∑ M R x = 0 ⟹ - 40 x 2 3 - V = 0 M - 40 x 2 3 ⋅ x 3 = 0

E chegamos a V = - 40 x 2 3 e M = - 40 x 3 9 .

Passo 4

Agora é só dar sequência. Vamos então para a seção 2. Fazendo um corte nesta seção, teremos o seguinte diagrama:

Sendo 3 < x < 6   m .

OBS: A força do segundo carregamento triangular foi obtida fazendo ∫ 3 x - 80 3 x + 160 d x . Isto é, integrando a função do carregamento de 3 até x .

Vamos fazer esta seção de uma forma um pouco diferente. Começamos obtendo a força cortante da mesma forma:

∑ F y = 0

A y - 120 - - 40 x 2 3 + 160 x - 360 - V = 0

V = 40 x 2 3 - 160 x + 480

Agora, para o momento fletor, vamos integrar a força cortante (sim, podemos fazer assim!). Portanto,

M = ∫ 40 x 2 3 - 160 x + 480 d x = 40 x 3 9 - 80 x 2 + 480 x + c

Para calcularmos o valor de c , basta verificar que quando x = 3 , M = - 120   k N ⋅ m (valor obtido do momento fletor calculado do Passo 3).

Com esta condição, nós obtemos:

M = 40 x 3 9 - 80 x 2 + 480 x - 960

Passo 5

Agora é só dar sequência. Vamos então para a seção 2. Fazendo um corte nesta seção, teremos o seguinte diagrama:

Sendo 6 < x < 9   m .

OBS: A força do segundo carregamento triangular foi obtida fazendo ∫ 6 x 80 x 3 - 160 d x . Isto é, integrando a função do carregamento de 6 até x .

Agora, só precisamos aplicar as equações de equilíbrio. Portanto:

∑ F y = 0 ∑ M R x = 0 ⟹ A y - 240 - 40 x 2 3 - 160 x + 480 - V = 0 M + 240 x - 3 - A y x - 3 + 40 x 2 3 - 160 x + 480 x - 6 3 = 0

V = - 40 x 2 3 + 160 x - 480 M = - 40 x 3 9 + 80 x 2 - 480 x + 960

E assim chegamos as relações V = 40 x 2 3 - 160 x + 480   k N e M = - 40 x 3 9 + 80 x 2 - 480 x + 960   k N ⋅ m .

Passo 6

Agora vamos para o último passo. Aqui fica muito mais fácil se nós analisarmos da direita para a esquerda o nosso corte. Se fizermos isto, teremos o seguinte diagrama de corpo livre.

Sendo 0 < u < 3   m .

Agora, só precisamos aplicar as equações de equilíbrio. Portanto:

∑ F y = 0 ∑ M R x = 0 ⟹ V - 40 u 2 3 = 0 M - 40 u 2 3 ⋅ u 3 = 0

E chegamos a V = 40 u 2 3 e M = 40 u 3 9 .

Só que para a gente consiga plotar o diagrama de corpo livre, temos que escrever todas as variáveis utilizando o comprimento x . Isto é, a origem do sistema de coordenadas é na extrema esquerda.

Então, para que a gente reescreva as nossas relações em função daquela origem, basta perceber que u = x - 12 . Fazendo esta mudança nós obtemos V = 40 x - 12 2 3 e M = 40 x - 12 3 9 .

Passo 7

Para finalizarmos a questão basta juntarmos todas as informações em um único gráfico. Começando pelo diagrama de esforço cortante, temos:

E o diagrama de momento fletor será:

E assim finalizamos a questão!

Resposta

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