Enunciado

Reduza as forças representadas na figura anterior a origem dos sistemas cartesianos indicados. Idem para as forças distribuídas mostradas na figura que se segue

Passo 1

Para reduzir as forças representadas na figura, temos que notar que essas forças são paralelas e coplanares (estão todas contidas em um mesmo plano). Além disso, a força está distribuída em uma linha no plano x y , de modo que a resultante da força é dada por

R = ∫ 0 l p   d x .

No nosso caso, p ( x ) = p 0   s e n   π   x 2   l . Assim, para reduzir as forças, temos que resolver a integral

R = ∫ 0 l p 0   s e n   π   x 2   l   d x .

Passo 2

Se fizemos a substituição de variáveis u = π   x 2   l , então x = 2   l   u π . Ou seja, d x = 2   l π d u . Além disso, não podemos esquecer de mudar os intervalos de integração: quando x = 0 , u = 0 e quando x = 0 , u = π l 2   l = π   2   . Assim, ficamos com

R = ∫ 0 π / 2 p 0 2   l π     s e n   u   d u = p 0 2   l π ∫ 0 π / 2     s e n   u   d u = - p 0 2   l π c o s u | 0 π / 2 = - p 0 2   l π ( c o s   π 2 - c o s 0 )

⇒ R =   - p 0 2   l π ( 0 - 1 ) = 2   l   p 0 π

Além disso, a força aponta no sentido positivo de y , então R → = 2   l   p 0 π   j ^ .

Passo 3

Para que a força encontrada no passo anterior tenha o mesmo efeito que a força distribuída, devemos aplicá-la num ponto dado por

x = ∫ 0 l p   x d x ∫ 0 l p   d x .

Felizmente já temos a integral do denominador. A integral do numerador é dada por

∫ 0 l p 0 x   s e n   π   x 2   l   d x

Fazendo a mesma mudança de variáveis que anteriormente, encontramos

∫ 0 l p 0 x   s e n   π   x 2   l   d x = ∫ 0 π / 2 p 0 2   l   u π 2   l π     s e n   u   d u = p 0 4   l 2 π 2 ∫ 0 π / 2 u     s e n   u   d u

Para não ficar muito confuso, vamos resolver a integral separadamente usando integração por partes.

∫ 0 π / 2 u     s e n   u   d u = - u     c o s   u | 0 π / 2 + ∫ 0 π / 2 c o s   u   d u = π 2     c o s   π 2 - 0 ⋅   c o s   0 + s e n   u | 0 π / 2    

∫ 0 π / 2 u     s e n   u   d u = s e n   π 2 - s e n   0 = 1 .

Agora que sabemos que o resultado da integral é um, podemos concluir que ∫ 0 l p   x d x = p 0 4   l 2 π 2 . Logo, para reduzir as forças representadas na figura, temos que aplicar uma força de módulo 2   l   p 0 π no ponto

x = p 0 4   l 2 π 2 2   l   p 0 π = 2   l   π .

Resposta

Para reduzir as forças representadas na figura, temos que aplicar uma força de módulo 2   l   p 0 π no ponto x = 2   l   π .

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Reduza as forças representadas na figura anterior a origem dos sistemas cartesianos indicados. Idem para as forças distribuídas mostradas na figura que se segue