Enunciado

Resolva o Problema 7.14 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através do estado de tensões que foi dado no enunciado, conseguimos esboçar o círculo de Mohr para esse estado. A partir do círculo, podemos encontrar a inclinação dos planos principais e suas tensões. Depois disso vamos rotacionar o elemento diferencial e desenhar os novos pontos no círculo de Mohr para então encontrar as tensões normal e de cisalhamento para as duas rotações pedidas.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = (- 60 + 9 0)/(2) -> sigma_m e d = 15 M P a

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (- 60 , - 3 0) M P a

Y : (sigma_y , tau_x y) = (9 0 , 3 0) M P a

C : (sigma_m e d , 0) = (15 , 0) M P a

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, vamos começar encontrando seu raio, que pode ser dado por:

R = sqrt(C F^2 + F X^2) = sqrt((O C + O F)^2 + F X^2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = sqrt((15 + 60)^2 + (30)^2) -> R = 80,78 M P a

Agora vamos encontrar a inclinação dos planos principais theta_P , então teremos:

t g 2 theta_P = (F X)/(F C) = (F X)/(O C + O F)

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g 2 theta_P = (30)/(15 + 60) = 0,4 -> 2 theta_P = 21,8 ° -> theta_P = 10,9 °

Passo 4

Agora, para a letra (a), vamos rotacionar o elemento diferencial 25° no sentido horário, o que implica em uma rotação de 50° no sentido horário no círculo de Mohr, dessa forma, os novos pontos X’ e Y’ serão:

Com isso, podemos encontrar o ângulo phi formado, que será:

phi = 50 - 2 theta_P = 50 - 21,8 -> phi = 28,2 °

Sendo assim, a tensão normal na direção x pode ser encontrada através de:

sigma_x^' = sigma_m e d - R c o s phi = 15 - 80,78 cos (28,2 °)

sigma_x^' = - 56,2 M P a

Agora, para a tensão normal na direção y, teremos:

sigma_y^' = sigma_m e d + R c o s phi = 15 + 80,78 c o s ( 28,2 ° )

sigma_y^' = 86,2 M P a

E, por fim, o cisalhamento pode ser encontrado através de:

tau_x^' y^' = - R s e n phi = - 80,78 s e n ( 28,2 ° )

tau_x^' y^' = - 38,2 M P a

Beleza! A letra (a) acabou aqui! Agora falta a letra (b) só.

Passo 5

Agora, para a letra (b), vamos rotacionar o elemento diferencial 10° no sentido anti-horário, o que implica em uma rotação de 20° no sentido anti-horário no círculo de Mohr, dessa forma, os novos pontos X’ e Y’ serão:

Com isso, podemos encontrar o ângulo phi formado, que será:

phi = 2 theta_P + 20 = 21,8 + 20 -> phi = 41,8 °

Sendo assim, a tensão normal na direção x pode ser encontrada através de:

sigma_x^' = sigma_m e d - R c o s phi = 15 - 80,78 cos (41,8 °)

sigma_x^' = - 45,2 M P a

Agora, para a tensão normal na direção y, teremos:

sigma_y^' = sigma_m e d + R c o s phi = 15 + 80,78 c o s ( 41,8 ° )

sigma_y^' = 75,2 M P a

E, por fim, o cisalhamento pode ser encontrado através de:

tau_x^' y^' = R s e n phi = 80,78 s e n ( 41,8 ° )

tau_x^' y^' = 53,8 M P a

Prooonto! Agora terminamos de vez!

Resposta

(a) : sigma_x^' = - 56,2 M P a

(a) : sigma_y^' = 86,2 M P a

(a) : tau_x^' y^' = - 38,2 M P a

(b) : sigma_x^' = - 45,2 M P a

(b) : sigma_y^' = 75,2 M P a

(b) : tau_x^' y^' = 53,8 M P a

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