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Resolva o Problema 7.19 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através dos dados que foram dados no enunciado, vamos desenhar o elemento diferencial de tensões para o estado fornecido, escrevendo em função da força P e da área da seção. Com o elemento diferencial, vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensões e encontrar o ponto para a rotação β = 22 ° . Só aí é que vamos analisar as duas condições admissíveis fornecidas, a tração e a de cisalhamento, e ver qual é a maior força P que podemos aplicar para satisfazer os dois casos.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar desenhando o elemento diferencial para o estado dado, onde só temos tensão em x, então teremos:

Sabemos que a tensão é dada pela força sobre a área, então, para esse elemento diferencial, temos:

σ x = P A

σ y = 0

τ x y = 0

Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

σ m e d = P A + 0 2 → σ m e d = P 2 A

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : σ x ,   - τ x y = P A ,   0

Y : σ y ,   τ x y = 0 , 0

C : σ m e d ,   0 = P 2 A ,   0

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, podemos encontrar seu raio subtraindo a tensão Y da tensão X e dividindo esse valor por 2, ou seja:

R = σ x - σ y 2 = P A - 0 2 → R = P 2 A

Agora precisamos rotacionar o elemento diferencial em 22° para podermos encontrar o estado de tensão na direção da junta colada. Sendo assim, rotacionando o elemento em 22°, ou seja, percorrendo 44° no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:

Agora precisamos encontrar as expressões para os valores da tensão normal e de cisalhamento nesse novo ponto Y’ para poder comparar com a tensão admissível fornecida no enunciado. Vamos lá! Começando pela tensão de cisalhamento, através de trigonometria, temos:

τ y ' = R s e n 2 β = P 2 A s e n 2 β

Beleza! Vamos deixar essa expressão guardada. Agora, a tensão normal no novo ponto será dada por:

σ y ' = σ m e d - R c o s 2 β = P 2 A - P 2 A cos ⁡ 2 β

σ y ' = P 2 A 1 - cos ⁡ 2 β

Passo 4

Estamos quase lá! Agora, para usarmos as equações que encontramos no passo 3, falta calcular o valor da área da seção transversal, dessa forma, teremos:

A = b h = 0,12 0,08 → A = 9,6.10 - 3   m 2

Beleeza! Agora vamos encontrar a máxima força P admissível levando em conta a tensão de cisalhamento, então, teremos:

τ y ' = P 2 A s e n 2 β

Isolando P dessa equação e substituindo os valores conhecidos, teremos:

P = 2 A τ y ' s e n 2 β = 2 9,6.10 - 3 600.10 3 s e n 44 ° → P = 16583,7   N

Essa é a máxima força P considerando a tensão de cisalhamento! Agora precisamos verificar a mesma força, só que para a tensão normal, então, da equação encontrada no passo 3, temos:

σ y ' = P 2 A 1 - cos ⁡ 2 β

Isolando P e substituindo os valores conhecidos, temos:

P = 2 A σ y ' 1 - cos ⁡ 2 β = 2 9,6.10 - 3 400.10 3 1 - c o s ⁡ ( 44 ° ) → P = 27364   N

Opa! Esse valor é maior do que o encontrado para a condição de cisalhamento. Então, como precisamos atender as duas condições, pegamos o menor valor de P encontrado. Sendo assim, nossa força P admissível será:

P a d m = 16583,7   N

É isso aí! Valeeu!

Resposta

P a d m = 16583,7   N

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