Enunciado

Determine a expressão para o torque M necessário para girar o eixo cuja pressão axial L é sustentada por um mancal cômico. O coeficiente de atrito é μ , e a pressão no mancal é constante.

Passo 1

Aqui devemos encontrar a expressão do momento infinitesimal d M em cada parte da superfície cônica, e então integrar. Vamos separar a superfície de contato em círculos de raio r . A altura z em relação à ponta O do formato cônico é função de r . Em cada círculo, atuará uma força normal total d P e uma força de atrito total d F .

Passo 2

Em cada círculo, temos forças normais d P aplicadas, e forças de atrito que impedem o giro iguais a d F = μ   d P . Então o momento feito em torno do eixo central é

d M = r   d F = μ r   d P

Além disso, cada força d P é igual à pressão p , que tem valor desconhecido, vezes a área d A :

d P = p   d A

Então:

d M = μ r p   d A

Mas a área d A é a área de uma circunferência de raio r e espessura d s .

A espessura d s pode ser colocada em função de d r :

cos ⁡ α 2 = d r d s ⇒ d s = d r cos ⁡ α 2

Então a área infinitesimal d A é:

d A = 2 π r d s = 2 π cos ⁡ α 2 r d r

Colocando em função de r o momento d M é então:

d M = μ r p   d A = μ r p ⋅ 2 π cos ⁡ α 2 r d r = 2 π μ p cos ⁡ α 2 r 2 d r

Passo 3

Temos então a expressão de d M em função de r, mas ela não está completa, pois não sabemos qual é o valor de p . Devemos então achar esse valor fazendo o equilíbrio vertical da peça, pois a carga L aplicada deve ser igual à integral das componentes verticais das forças d P . Essas forças d P tem inclinação de α / 2 em relação à horizontal, então a componente vertical é:

d P z = d P sen ⁡ α 2 = p   d A   sen ⁡ α 2

Substituindo pelo valor de d A em função de r :

d P z = p sen ⁡ α 2 ⋅ 2 π cos ⁡ α 2 r d r

⇒ d P z = 2 π p tan ⁡ α 2   r d r

Agora integramos, com r indo de d 1 / 2 a d 2 / 2 :

L = ∫ d 1 / 2 d 2 / 2 2 π p tan ⁡ α 2   r d r = π p tan ⁡ α 2 r 2 d 1 / 2 d 2 / 2    

= π p tan ⁡ α 2 d 2 2 4 - d 1 2 4

⇒ L = π p 4 tan ⁡ α 2 ( d 2 2 - d 1 2 )

Então temos a pressão em função de L :

p = 4 L π tan ⁡ α 2 ( d 2 2 - d 1 2 )

Passo 4

Agora, substituindo p , temos só em função de r nosso momento d M atuando em cada círculo:

d M = 2 π μ p cos ⁡ α 2 r 2 d r = 2 π μ cos ⁡ α 2 r 2 d r ⋅ 4 L π tan ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2 = 8 μ L sen ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2 r 2 d r

Integramos essa expressão de d 1 / 2 a d 2 / 2 , para finalmente encontrar o momento total M :

M = ∫ d 1 / 2 d 2 / 2 8 μ L sen ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2 r 2 d r = 8 μ L sen ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2 r 3 3 d 1 / 2 d 2 / 2

= 8 μ L 3 sen ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2 d 2 3 8 - d 1 3 8

⇒ M = μ L d 2 3 - d 1 3 3 sen ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2

Esse é o momento total causado pelo atrito, e também o momento que deve ser feito para se opor a ele e fazer girar a peça.

Resposta

M = μ L d 2 3 - d 1 3 3 sen ⁡ α 2 d 2 2 - d 1 2

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