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Determine a força em cada elemento da treliça carregada. Utilize a simetria da treliça e do carregamento.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, isolando cada pino da treliça. Primeiro vamos às equações externas da treliça, para acharmos os valores de reação de A e E . Note que o apoio em E só causa reação para cima:

∑ F x = 0 ⇒ A x = 0

∑ F y = 0 ⇒ A y + E y - 30 - 60 - 30 = 0 ⇒ A y = 120 - E y

Agora encontramos E y através da equação do momento em torno de A :

∑ M A = 0 ⇒ - 30 5 - 60 10 - 30 15 + E y 20 = 0 ⇒

20 E y = 150 + 600 + 450 ⇒ E y = 1200 20 ⇒ E y = 60   k N   ( p a r a   c i m a )

⇒ A y = 60   k N   ( p a r a   c i m a )

Passo 2

Agora vamos calcular as equações para cada nó. C indica que a barra está comprimida e T indica que ela está tracionada. Se o valor de uma força der negativo significa que erramos o sentido. Pela simetria do problema, observamos as seguintes relações.

A B = D E

A H = E F

B H = D F

B C = C D

C H = C F

G H = G F

Então encontrando metade das forças conseguiremos definir todas.

Passo 3

Nó A:

Analisando o triângulo A B H , calculamos o tamanho A B por Pitágoras:

A B - = 4 2 + 5 2 = 16 + 25 = 41

Então temos o seno e o cosseno do ângulo θ entre A B e A H :

sen ⁡ θ = 4 41 0,62 ; cos ⁡ θ = 5 41 = 0,78

Todos os outros triângulos do problema são semelhantes a esse. Temos para o nó A então:

∑ F x = 0 ⇒ - 0,78 A B + A H = 0 ⇒ A H = 0,78 A B

∑ F y = 0 ⇒ 60 - 0,62 A B = 0 ⇒ A B = 60 0,62 ⇒ A B = 96   k N   ( C )

⇒ A H = 0,78 96 ⇒ A H = 75   k N   ( T )

Pela simetria, temos também:

D E = 96   k N   ( C )

E F = 75   k N   ( T )

Passo 4

Nó B:

∑ F x = 0 ⇒ 0,78 A B - B C = 0 ⇒ B C = 0,78 96 ⇒ B C = 75   k N   ( C )

∑ F y = 0 ⇒ 0,62 A B - B H = 0 ⇒ B H = 0,62 96 ⇒ B H = 60   k N   ( T )

Por simetria, temos também:

C D = 75   k N   C

D F = 60   k N   ( T )

Passo 5

Nó H:

∑ F x = 0 ⇒ - A H + 0,78 C H + G H = 0 ⇒ G H = A H - 0,78 C H

Substituindo o valor de A H

G H = 75 - 0,78 C H

∑ F y = 0 ⇒ - 30 + B H + 0,62 C H = 0

Substituindo o valor de B H

- 30 + 60 + 0,62 C H = 0 ⇒ 0,62 C H = - 30

⇒ C H = - 30 0,62 ⇒ C H = - 48   k N   ( C )

O valor negativo indica que C H é de compressão e não de tração. Agora encontramos G H :

G H = 75 - 0,78 - 48 ⇒ G H = 112   k N   ( T )

Por simetria, obtemos também:

C F = 48   k N   C

F G = 112   k N   ( T )

Passo 6

Nó G:

Como uma simples soma de forças no eixo y , obtemos C G :

∑ F y = 0 ⇒ C G - 60 = 0 ⇒ C G = 60   k N   ( T )

Resposta

A B = 96   k N   ( C )

A H = 75   k N   ( T )

D E = 96   k N   ( C )

E F = 75   k N   ( T )

B C = 75   k N   ( C )

B H = 60   k N   ( T )

C D = 75   k N   C

D F = 60   k N   ( T )

C H = 48   k N   ( C )

G H = 112   k N   ( T )

C F = 48   k N   C

F G = 112   k N   ( T )

C G = 60   k N   ( T )

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