Enunciado

Determine a força no elemento B D da prirâmide regular de base quadrada.

Passo 1

Vamos primeiro analisar as forças externas da pirâmide como um todo e depois disso analisar as condições de equilíbrio para os nós. Fazemos primeiro um desenho das forças externas atuantes na treliça. Temos que prestar atenção nos tipos de fixação. A fixação em B pode causar força em todas as direções, as fixações em C e E apenas na direção z e a fixação em D apenas na direxão y .

Passo 2

Queremos encontrar B D , e vamos fazer isso através das condições de equilíbrio para o nó D . Mas temos nesse ponto 5 forças desconhecidas. Como temos 3 equações de força, devemos ter só 3 incógnitas quando formos olhar para esse ponto. Devemos primeiro então com as equações da treliça toda e de mais algum nó encontrar 2 forças que estão em D .

Primeiro vamos fazer o momento em torno de B E pois há muitas forças nesse eixo e passando por ele. As únicas forças que não apssam por ele ou são paralelas são C z e a força 2 L em A , então:

∑ M B E = 0 ⇒ - 2 L 2,5 a + C z 5 a = 0 ⇒ - 5 L + 5 C z = 0

⇒ C z = L

Podemos encontrar D y fazendo o momento em torno de um eixo na direção z passando por B . As únicas forças que não passam pelo eixo e não são paralelas são D y e a força L aplicada em D :

∑ M B z = 0 ⇒ L 5 a - D y 5 a = 0 ⇒ 5 a L = 5 a D y

⇒ D y = L

Já achamos uma força que passa em D . Não há mais equações envolvendo poucas forças que sejam úteis para a treliça inteira, então agora vamos tentar achar a outra de outra maneira.

Passo 3

Como achamos C z , agora só temos 3 incógnitas no ponto C e se fizermos as equações para esse nó podemos encontrar C D que é muito útil para a gente. Devemos colocar as forças na forma de módulo vezes vetor unitário.

Os vetores de B C e C D têm a forma:

B C → = - B C   i ^

C D → = C D   j ^

Precisamos calcular o vetor unitário de A C . Temos:

r → C A = a ( - 2,5 i ^ + 2,5 j ^ + 6 k ^ )

r → C A = a 2,5 2 + 2,5 2 + 6 2 = 6,964 a

Então:

A C → = A C a - 2,5 i ^ + 2,5 j ^ + 6 k ^ 6,964 a = A C ( - 0,359 i ^ + 0,359 j ^ + 0,8616 k ^ )

Como só temos A C como incógnita na direção z , fazemos a soma ser zero nessa direção:

∑ F z = 0 ⇒ 0,8616   A C + L = 0 ⇒ A C = - L 0,8616

⇒ A C = - 1,161 L   ( C )

Agora fazendo a soma na direção y :

∑ F y = 0 ⇒ C D + 0,359   A C = 0 ⇒ C D + 0,359 - 1,161 L = 0

⇒ C D = 0,4167 L   ( T )

Passo 4

Finalmente temos só 3 incógnitas em D ! Agora vamos às equações para esse nó.

Primeiramente, olhamos que só tem A D na direção z , e como a força em z tem que ser zero A D = 0 . Na direção y só tem B D como vetor, então vamos usar a soma das forças em y   agora. O ângulo que B D faz com essa direção é de 45°:

∑ F y = 0 ⇒ - B D cos ⁡ 45 ° - 0,4167 L - L = 0

⇒ B D cos ⁡ 45 ° = - L - 0,4167 L = - 1,4167 L

⇒ B D = - 1,4167 L cos ⁡ 45 °

⇒ B D = - 2,00 L   ( C )

Resposta

B D = 2,00 L   ( C )

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