Enunciado

Se a resultante das quatro forças é F R = - 1,8 k kN, determine a tração desenvolvida em cada cabo. Devido à simetria a tração nos quatro cabos é a mesma.

Passo 1

Nesse exercício é dada a força resultante e queremos descobrir a força em cada cabo, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

A 0,9 ,   - 0,6 ,   0   m

B 0,9 ,   0,6 ,   0   m

C - 0,9 ,   0,6 ,   0   m

D - 0,9 ,   - 0,6 ,   0   m

E 0 ,   0 ,   1,8   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r E A = 0,9 - 0 i   +   - 0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E A = 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   m

r E B = 0,9 - 0 i   +   0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E B = 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k   m

r E C = - 0,9 - 0 i   +   0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E C = - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k   m

r E D = - 0,9 - 0 i   +   - 0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E D = - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r E A |   = 0,9 2 + - 0,6 2 + - 1,8 2

r E A = 2,1   m

| r E B |   = 0,9 2 + 0,6 2 + - 1,8 2

r E B = 2,1   m

| r E C |   = - 0,9 2 + 0,6 2 + - 1,8 2

r E C = 2,1   m

| r E D |   = - 0,9 2 + - 0,6 2 + - 1,8 2

r E D = 2,1   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores são:

u = r r

u E A = ( 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   ) 2,1

u E B = ( 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

u E C = ( - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

u E D = ( - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos, sabendo que a tração nos quatro cabos é a mesma:

F = F   u

F A = F A u E A = F ( 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   ) 2,1

F B = F B u E B = F   ( 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

F C = F C u E C = F   - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k 2,1

F D = F D u E D = F   - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k 2,1

Passo 4

E então, dada a força resultante F R = - 1,8 k   N , igualamos ao somatório das nossas forças:

F R = F A + F B + F C + F D

- 1,8 k = F   ( 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   ) 2,1 + F 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k 2,1 + F - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k 2,1 + F   - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k 2,1

Teremos:

- 1,8 k = - 24 7 F k

F = 0,52   N

Resposta

F = 0,52   N

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