Enunciado

Determine por integração direta o centroide da área a seguir. Determine sua resposta em termos de a   e h .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

y ' = 2 r π  

Agora, precisamos determinar o termo d A , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d A = π r   d r

Para a área, vamos integrar o termo d A . Fica assim:

  A = ∫ d A = ∫ r 1 r 2 π r   d r

= π 2 r 2 ² - r 1 ²

Passo 2

Agora, para encontrarmos os centroides, devemos utilizar as seguintes fórmulas:

  y - = ∫ y '   d A ∫ d A

Como já temos a integral de d A , vamos calcular a integral do numerador:

∫ y   d A = ∫ r 1 r 2 2 r π   π r   d r = 2 3 r 2 3 - r 1 3

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denominador, ficaremos com:

y - = 4 π 3 r 2 3 - r 1 3 r 2 2 - r 1 2

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

y - = 4 π 3 r 2 3 - r 1 3 r 2 2 - r 1 2

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