Enunciado

Determine a massa e a localização do centroide do corpo de alumínio fundido.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas X - , Y - e Z - do centroide do objeto feito de alumínio fundido.

Então bora resolver! Para determinar o centro de massa do corpo formado pelo conjunto de outros objetos, vamos utilizar as medidas dadas e as seguintes equações:

X - = ∑ ( m x - ) ∑ m

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m

Ou seja, precisamos definir as massas e as posições dos centroides dos três objetos que compõem o corpo: o primeiro é o paralelepípedo da base m 1 , o segundo é o paralelepípedo com os furos m 2 , o terceiro é o furo da esquerda m 3 e o quarto o furo da direita ( m 4 ) . Tendo isso, é só substituir nas expressões acima, lembrando que os furos devem ser subtraídos.

Passo 2

Show de bola! Essa parte é bem simples. Para o alumínio fundido, temos:

ρ = 2,71 * 10 - 6

E as massas são dadas por:

m = ρ V

Analisando a massa de cada um dos elementos separadamente:

m 1 = 120 * 30 * 6 0 * 2,71 * 10 - 6 = 0 , 5854   k g

m 2 = 120 * 48 * 30 * 2,71 * 10 - 6 = 0,468 3   k g

m 3 = - 1 4 * π * 30 2 * 30 * 2,71 * 10 - 6 = - 0 , 05747   k g

m 4 = - 1 4 * π * 30 2 * 30 * 2,71 * 10 - 6 = - 0 , 05747   k g

E a massa total do corpo:

m = m 1 + m 2 + m 3 + m 4

m = 0,5854 + 0,4683 + - 0,05747 + - 0,05747

m = 0,939   k g

Passo 3

Tranquilo né? Além das massas, precisamos das posições dos centroides dos quatro objetos em relação aos eixos x , y e z . Sendo assim, para o sólido m 1 :

x - 1 = 30   m m

y - 1 = 30 + 6 0 2 = 60   m m

z - 1 = 30 2 = 15   m m

Já para o sólido m 2 :

x - 2 = 30 2 = 1 5   m m

y - 2 = 30 + 60 2 = 6 0   m m

z - 2 = 30 + 24 = 54   m m

E, finalmente, para os furos m 3 e m 4 :

x - 3 = 30 2 = 15   m m

y - 3 = 30   m m

z - 3 = 30 + 24 = 54   m m

x - 4 = 30 2 = 15   m m

y - 4 = 30 + 60 = 90   m m

z - 4 = 30 + 24 = 54   m m

Passo 4

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos objetos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

X - = ∑ ( m x - ) ∑ m = m 1 x - 1 + m 2 x - 2 + m 3 x - 3 + m 4 x - 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

X - = 0,5854 * 30 + 0,4683 * 15 + - 0 , 05747 * 15 + - 0 , 05747 * 15 0,5854 + 0,4683 + - 0 , 05747 + - 0 , 05747

X - = 24,35   m m

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = m 1 y - 1 + m 2 y - 2 + m 3 y - 3 + m 4 y - 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

Y - = 0,5854 * 60 + 0,4683 * 60 + - 0,05747 * 30 + - 0,05747 * 90 0,5854 + 0,4683 + - 0,05747 + - 0,05747

Y - = 60   m m

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m = m 1 z - 1 + m 2 z - 2 + m 3 z - 3 + m 4 z - 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

Z - = 0,5854 * 15 + 0,4683 * 54 + - 0,05747 * 54 + - 0,05747 * 54 0,5854 + 0,4683 + - 0,05747 + - 0,05747

Z - = 29,68   m m

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

X - = 24,35   m m

Y - = 60   m m

Z - = 29,68   m m

m = 0,939   k g

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