Enunciado

Determine a intensidade de P e os ângulos de direção coordenados de F 3 para o equilíbrio da partícula. Observe que F 3 atua no octante mostrado.

Passo 1

Para encontrar o valor da força P e dos ângulos de F 3 , o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas.Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x ,   y   e   z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Também é possível denotar na forma vetorial a força P :

P = P x + P y + P z = 0 + P cos ⁡ 20 ° + P   s e n 20 °

A força F 1 :

F 1 = F 1 - 1 i - 7 j + 4 k - 1 2 + - 7 2 + 4 2 = 360 - 1 i - 7 j + 4 k 66

F 1 = - 44,313 i - 310,191 j + 177,252 k

A força F 2 :

F 2 = - 120 j

A força F 3 :

F 3 = F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k

E F _ 4 :

F 4 = - 300 k

Passo 2

Fazendo o diagrama de corpo livre, tem-se:

Passo 3

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

F 3 x - 1 66 F 1 = F 3 x - 360 1 66 = 0  

F 3 x = 44,313   k N   ( 1 )

∑ F y = 0

P cos ⁡ 20 ° - 120 - F 1 7 66 + F 3 y = 0  

0,9397 P - 120 - 360 7 66 + F 3 y = 0   ( 2 )

∑ F z = 0

P   s e n 20 ° + F 1 4 66 + F 3 z - 300 = 0

0,3420 P + 360 4 66 + F 3 z - 300 = 0   3

Passo 4

Agora, isolando as componentes de F 3 das equações (2) e (3) e substituindo-as na equação própria força, será possível determinar o valor de P , tal que:

F 3 = F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k

200 = F 3 x 2 + F 3 y 2 + F 3 z 2

200 2 = 44,313 2 + 430,191 - 0,9397 P 2 + 122,748 - 0,3420 P 2

P 2 - 892,461 P + 162095,01 = 0

Esta equação de segundo grau tem duas soluções que são:

P 1 = 638,65   k N

P 2 = 253,81   k N

Passo 5

Como temos a informação de qual octante a força F 3 se encontra, o valor de P para que essa informação seja válida é

P = 638,65   k N

E, com esse resultado, pode-se obter:

F 3 y = - 169,95   k N

E

F 3 z = - 95,67   k N

Passo 6

Portanto, com as componentes da força F 3 determinadas, é possível encontrar seus ângulos de direção:

α 3 = cos - 1 ⁡ 44,313 200 = 77,2 °

β 3 = cos - 1 ⁡ - 169,95 200 = 148,2 °

γ 3 = cos - 1 ⁡ - 95,67 200 = 118,6 °

Resposta

P = 638,65   k N

α 3 = 77,2 °

β 3 = 148,2 °

γ 3 = 118,6 °

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