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A engrenagem C gira a polia D para correias em V a uma velocidade constante. Para as forças trativas mostradas na correia, calcule a força P m í n no dente da engrenagem e os módulos das forças totais suportadas pelos mancais em A e B .

c

Passo 1

Vamos começar definindo eixos de coordenadas:

E as forças que atuam no sistema são as seguinte: a força P na engrenagem C , as duas forças de 100   N e 200   N na engrenagem D , e as componentes A x , A y , B x e B y das forças em A e B (essas forças não têm componentes na direção do eixo z ).

Passo 2

Agora vamos usar algumas equações de equilíbrio para resolver o problema. Começamos com o equilíbrio dos momentos em relação ao eixo z , pois como nesse caso os momentos de todas as forças em A e B são nulos, deve ser a expressão mais simples.

A componente em x da força P cruza o eixo z , então também não possui momento. Ficamos então com a componente y da força P e as duas forças que atuam na engrenagem D .

Sendo assim, considerando o sentido anti-horário como positivo, teremos:

M z = 0

200 0,160 2 - 100 0,160 2 - P cos ⁡ 20 ° 0,120 = 0

100 0,080 - P c o s 20 º 0,120 = 0

P = 100 0,080 ( 0,120 ) ( cos ⁡ 20 ° ) = 70,9   N

Esse é nosso primeiro resultado.

Passo 3

Agora vamos analisar o sistema no plano y z , isso vai simplificar bastante as coisas (pense nisso como a vista “de cima” do nosso desenho). E dentro desse plano, vamos calcular o momento em relação ao ponto A .

Nesse plano vemos apenas as forças A y , B y e uma componente da força P . Como A y está sobre nosso ponto de referência, o seu momento é nulo:

M A = B y 0,100 + 0,150 + 0,100 - P cos ⁡ 20 ° 0,100 = 0

B y = 70,9 cos ⁡ 20 ° 0,100 ( 0,350 ) = 19,0   N

E ainda nesse plano, vamos considerar o equilíbrio na direção do eixo y :

∑ F y = A y + B y - P cos ⁡ 20 ° = 0

A y = - 19,0 + 70,9 cos ⁡ 20 ° = 47,6   N

Ótimo, encontramos as duas componentes em y . Agora vamos analisar outro plano para obter as componentes em x .

Passo 4

Vamos analisar o plano x z , pense nisso como a vista “de lado” do sistema, e mais uma vez vamos usar o equilíbrio de momento em relação a A .

Nesse plano aparecem as forças de 200   N e 100   N , a outra componente da força P , e as componentes A x e B x das forças nos mancais.

M A = 200 + 100 0,250 - P sen ⁡ 20 ° 0,100 + A x 0 + B x 0,350 = 0

B x = - 300 0,250 + ( 70,9 ) ( sen ⁡ 20 ° ) ( 0,100 ) 0,350 = - 207   N

E mais uma vez, agora vamos usar o equilíbrio das forças na direção do eixo x , ainda nesse plano:

∑ F x = A x - 207 - P sen ⁡ 20 ° + 200 + 100 = 0

A x = 207 - 300 + 70,9 ( sen ⁡ 20 ° )

A x = - 68,7   N

E agora podemos calcular os módulos das duas forças:

A = A x 2 + A y 2 = 68,7 2 + 47,6 2 = 83,6   N

B = B x 2 + B y 2 = 207 2 + 19 2 = 208   N

Resposta

E então os módulos das forças são A = 83,6   N , B = 208   N e P = 70,9   N .

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