Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática - 12ªEd - Capítulo 5.Problemas - Ex. 30

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desse livro

Determine a intensidade e a direção θ da força mínima P necessária para puxar o rolete de 50   k g sobre o degrau liso

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Antes de explicarmos a questão, vamos começar fazendo o diagrama de forças do nosso problema. Lembrem-se que o contato com superfícies lisas gera forças normais!

Então, teremos o seguinte diagrama:

OBS: destaque para o triângulo ao lado do diagrama de forças para nos auxiliar na identificação do ângulo ϕ .

A questão pede para determinarmos a força mínima P e a direção θ necessária para que o rolete descole do plano da base!

Em outras palavras, precisamos determinar a força P mínima para que a força normal N 1 é nula!

Agora que já entendemos o que fazer, basta lembrarmos das equações de equilíbrio, as quais são:

∑ F = 0 ∑ M = 0

Então, vamos as contas!

Passo 2

Utilizando as equações do equilíbrio, vamos fazer o somatório de forças, tanto na direção x quanto na direção y . Desta forma, obtemos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ N 2 ⋅ sen ⁡ ϕ - P ⋅ cos ⁡ θ = 0 P ⋅ sen ⁡ θ + N 2 ⋅ cos ⁡ ϕ + N 1 - G = 0

Como ainda não determinarmos o ângulo ϕ , não conseguimos seguir com os cálculos. Este ângulo será dado por:

ϕ = arccos ⁡ 0,25 0,3 = 33,6 °

Fazendo N 1 = 0 e sabendo que G = m g = 50 ⋅ 9,81 = 490,5   N , temos:

N 2 ⋅ sen ⁡ 33,6 ° - P ⋅ cos ⁡ θ = 0 P ⋅ sen ⁡ θ + N 2 ⋅ cos ⁡ 33,6 ° - 490,5 = 0

N 2 = 1,807 ⋅ P ⋅ cos ⁡ θ P ⋅ sen ⁡ θ + 0,833 N 2 - 490,5 = 0

E assim chegamos a seguinte função:

P ⋅ sen ⁡ θ + 1,505 P ⋅ cos ⁡ θ - 490,5 = 0

P = 490,5 sen ⁡ θ + 1,505 cos ⁡ θ

Isto é, a força P como uma função da direção θ . Minimizando esta função, obtemos: θ m í n = 33,6 ° e P m í n = 271   N .

Resposta

P m í n = 271   N

θ m í n = 33,6 °

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