Enunciado

57. Determine a intensidade do momento que a força F → exerce sobre o eixo y da manivela. Resolva o problema usando uma abordagem de vetor cartesiano e usando uma abordagem escalar.

Passo 1

Primeiro vamos começar com a abordagem vetorial e tudo que ela precisa para ser usada, depois que terminarmos com ela vamos para abordagem escalar e a explicação para usá-la.

A distâncias na imagem estão em mm, mas vamos usá-las em m que é a unidade convencional.

Abordagem vetorial:

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 0,2 cos ⁡ 45 ° i - 0,05 j - 0,2   s e n   45 °   k }

= { 0,14 i - 0,05 j - 0,14 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo y, é dado por:

u → = { 0 i + 1 j + 0 k }

Passo 2

Agora precisamos separar nosso vetor força em suas componentes para podermos usá-las em nossas contas.

Pela forma que a força está sendo aplicada, só teremos componentes x e z da força. Essas componentes são dadas por:

F x = - F cos ⁡ 30 ° = 16 ⋅ cos ⁡ 30 ° = - 13,85

F z = F   s e n   30 ° = 16 ⋅ s e n   30 ° = 8

E nossa F y é igual a zero.

F x é negativo pois aponta para o lado negativo de x.

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0 1 0 0,14 - 0,05 - 0,14 - 13,8 5 0 8

= 0 - 0,05 ⋅ 8 - - 0,14 ⋅ 0 - 1 0,14 ⋅ 8 - 0 , 14 ⋅ 13,8 5 + 0 0,14 ⋅ 0 - - 0 , 05 ⋅ 13,8 5

= 0 - 0,4 - 0 - 1 1,12 - 1,94 + 0 ( 0 + 0 , 69 )

= 0 - 0 , 4 - 1 - 0,82 + 0 ( 0,6 9 )

= 0,82   N ⋅ m

Passo 4

Agora vamos resolver o problema usando análise escalar.

Análise escalar:

Para resolver esse exercício vamos usar o método de análise escalar que é baseado na fórmula:

M 0 = F d

Onde d nesse caso é a distância perpendicular do braço do momento a parti do eixo da linha da força.

No passo 2 já calculamos as componentes da força e vamos usá-las de novo

Com isso sabemos as três componentes da nossa força.

F x = - 13,85   N

F y = 0   N

F z = 8   N

Vamos definir também o sentido positivo do momento conforme a regra da mão direita.

Passo 5

Temos que para o eixo de rotação, sendo o eixo y, a força na direção y não colabora para o momento ou produz qualquer tendência para girar já que ela é paralela ao eixo de rotação.

Os braços de momento referentes a cada força e que são perpendiculares a linha de ação de sua respectiva componente da força são:

d x = 0,2 ⋅ s e n   45 ° = 0,14

d z = 0,2 ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0,14

Assim nosso momento em relação ao eixo de rotação y é:

M y = F x d x + F z d z

= - 1 3,85 ⋅ 0,14 + 8 ⋅ 0,14

= - 1,94 + 1,12

= - 0,82   N ⋅ m

Resposta

A intensidade do momento da força em relação ao eixo y é:

M y = - 0,82   N ⋅ m

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