Enunciado

50. Uma força horizontal de 20   N é plicada perpendicularmente ao cabo da chave de soquete. Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados do momento criados por essa força em relação ao ponto O.

Passo 1

Para encontrar o resultado que o enunciado pede vamos calcular primeiro o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto de aplicação da força, logo:

r → = 51,8 i + 193,2 j + 75 k   m m

r → = 0,05 i + 0 , 19 j + 0,0 7 k   m

Para achar as componentes x e y do vetor acima, basta fazer:

y = 200 ⋅ cos ⁡ 15 °

x = 200 ⋅ s e n   15 °

Depois que fizermos todas essas contas, encontraremos o vetor momento, para achar a intensidade do momento basta calcular o módulo do vetor.

Para calcular os ângulos de direção coordenados, que nada mais é que os ângulos que o vetor momento faz com os eixos x, y e z, vamos lembrar que:

cos ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

Como vamos interpretar isso para o nosso problema?

É o seguinte, para encontra o ângulo entre o vetor momento e um determinado eixo, basta pegar a componente do vetor em relação ao eixo que queremos e dividir pelo módulo do vetor.

Isso acontece pois sempre podemos formar um triângulo retângulo com o nosso vetor e um dos eixos. Mas para isso não vamos usar nosso vetor momento, entretanto vamos usar seu vetor direção.

Passo 2

Mas antes de começar a usar esse método, temos que notar que a nossa força não está expressa em forma cartesiana, mas como o problema nos fornece o ângulo de inclinação do braço onde é aplicada a força perpendicularmente a ele, podemos decompô-la em suas componentes em x, y e z.

A componente em z é 0 já que a força está sendo aplicada horizontalmente.

Para calcular as outras, vamos pensar um pouco, antes da chave ser deslocada 15° a força que é aplicada nela era paralela ao eixo x já que a força é perpendicular a chave, assim se andamos 15° com a chave, a força anda 15° em relação a x.

Agora vamos achar a componente em x:

F x = F ⋅ cos ⁡ 15 °

= 20 ⋅ 0,96 = 19,2

A componente em y é:

F y = F ⋅ s e n   15 °

= 20 ⋅ 0 , 26 = 5 , 2

Passo 3

Agora que já obtemos tudo que precisávamos, vamos calcular o momento em relação ao ponto A.

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

= i j k 0,05 0 , 19 0,07 19,2 5,2 0

= 0,19 ⋅ 0 - 0,07 ⋅ 5,2 i - 0,05 ⋅ 0 - 0,07 ⋅ 19,2 j + 0,05 ⋅ 5,2 - 0,19 ⋅ 19,2 k

= 0 - 0,36 i - ( 0 - 1,34 ) j + ( 0,26 - 3,6 ) k

= - 0,36 i + 1,34 j - 3,34 k

⇒ M 0 = - 0,36 i + 1 , 3 4 j - 3,34 k

Calculando a intensidade do momento.

- 0,36 2 + 1,34 2 + - 3,34 2

⇒ 0,13 + 1,8 + 11,15

⇒ 13,1 = 3,6

Passo 4

Para calcular os ângulos de direção coordenados, vamos primeiro calcular o vetor direção do momento e o módulo desse vetor, da seguinte maneira:

M 0 ^ = M 0 → M 0 →

= - 0,36 i + 1,34 j - 3,34 k - 0,36 2 + 1,34 2 + - 3,34 2

= - 0,36 i + 1,34 j - 3,34 k 0,13 + 1,8 + 11,15

= - 0,36 i + 1,34 j - 3,34 k 13,1

= - 0,36 i + 1,34 j - 3,34 k 3,6

= { - 0,1 i + 0,37 j - 0,93 k }

Passo 5

Agora vamos calcular o ângulo entre o vetor e o eixo x e chamaremos de α .

cos ⁡ α = - 0,1 1 = - 0,1

⇒ α = 95,7 °

Vamos calcular o ângulo entre o vetor e o eixo y e chamaremos de β .

cos ⁡ β = 0 , 37 1 = 0,37

⇒ β = 68 , 3 °

Calculando o ângulo entre o vetor e o eixo z e chamando de γ .

cos ⁡ γ = - 0 , 9 3 1 = - 0 , 93

⇒ γ = 158,4 °

Resposta

A intensidade momento é:

M 0 = 3,6

Os ângulos coordenados são:

α = 95,7 °

β = 68,3 °

γ = 158,4 °

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