Enunciado

17. Determine o momento da força F → = 50 i - 40 j + 20 k   N em relação ao eixo AB. Expresse o resultado como vetor cartesiano.

Passo 1

Falaa!

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Passo 2

Vamos começar achando r → . Ele pode ser o vetor que sai de A (ponto do eixo de rotação) e vai para o ponto C (ponto da linha de aplicação da força). Para achar um vetor a partir de dois pontos, a gente faz as coordenadas do final menos as do inicial

r → = C - A = 0.4 ,   0 ,   0.2 - 0.4,0 ,   0

r → = { 0 i + 0 j + 0,2 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo AB, é dado por:

u → = r A → r A →

Onde r A → é o vetor que sai do ponto B até o ponto A. Assim:

r A → = A - B = 0.4,0 ,   0 - 0 ,   0.3 ,   0

r A → = { 0,4 i - 0,3 j + 0 k }

r A → = 0,4 2 + - 0,3 2 + 0 2

= 0,16 + 0,09

0,25 = 0,5

Logo:

u → = 0,4 i - 0,3 j + 0 k 0,5

= { 0,8 i - 0,6 j + 0 k }

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0,8 - 0,6 0 0 0 0,2 50 - 40 20

= 0,8 0 ⋅ 20 - - 40 ⋅ 0,2 - ( - 0,6 ) 0 ⋅ 20 - 0,2 ⋅ 50 + 0 0 ⋅ ( - 40 ) - 0 ⋅ 50

= 0,8 0 + 8 - ( - 0,6 ) ( 0 - 10 ) + 0

= 0,8 ( 8 ) - ( - 0,6 ) ( - 10 ) + 0

= 6,4 - 6 = 0,4   N ⋅ m

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário na direção do eixo de rotação, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M 0 → = M 0 u → = 0,4 ( 0,8 i - 0,6 j + 0 k )

= ( 0,32 i - 0,24 j + 0 k )

Resposta

O momento da força F é dado por:

M 0 → = ( 0,32 i - 0,24 j + 0 k )

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