Enunciado

Determine e plote as forças nos três membros da treliça simples para valores de θ no intervalo 0   ≤ θ   < 120 ° . O que acontece se for superior a 120 ° ? Para fins de plotagem, considere as forças de tração como positivas. Determine a tração máxima e a força de compressão máxima em cada barra.

Passo 1

Uma vez que existem apenas duas forças desconhecidas agindo na junta A (dos membros AB e AC), podemos determinar ambas analisando-as.

Observe que criamos um sistema de coordenadas mOn, onde o eixo m é paralelo ao membro AC, a fim de facilitar os cálculos.

Passo 2

Observe também que assumimos que todos os membros desconhecidos estão sob tensão, portanto, os membros estarão em compressão quando seu valor for negativo.

Ao igualar a soma das forças na direção n a zero, podemos determinar a torção AB

∑ F n = 0

- A B sin ⁡ 60 ° - 4 cos ⁡ θ - 30 ° = 0

A B = - 4 cos ⁡ θ - 30 ° sin ⁡ 60 °

A B = 4.619 cos ⁡ θ - 30 °                 ( 1 )

Passo 3

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente a função fornecida para AB

Podemos ver que a barra está em compressão (valor negativo) na faixa ( 0   ≤ θ   ≤ 120 ° ), enquanto está em tensão quando θ >   120 ° , e a força de compressão máxima da barra AB é:

T A B m a x = 0

C A B m a x = 4.619   kN

Em seguida, ao igualar a soma das forças na direção x a zero, determinaremos a força no membro AC

∑ F x = 0

- A B cos ⁡ 30 ° - 4 sin ⁡ θ + A C cos ⁡ 30 ° = 0

A partir daqui, podemos expressar AC como:

A C = A B cos ⁡ 30 ° + 4 sin ⁡ θ cos ⁡ 30 °

A C = A B + 4.619 sin ⁡ θ

Substitua AB pela expressão (1)

A C = - 4.619 cos ⁡ θ - 30 ° + 4.619 sin ⁡ θ

A C = 4.619 sin ⁡ θ - cos ⁡ θ - 30 °                 ( 2 )

Passo 4

Podemos ver que a barra está em compressão (valor negativo) na faixa ( 0   ≤ θ   < 60 ° ), enquanto está em tensão (valor positivo) na faixa [ 60 °   ≤ θ   ≤ 120 ° ), e a força máxima de compressão e tensão do membro AC é:

T A C m a x = 4.00   kN

C A C m a x = 4.00   kN

Finalmente, vamos analisar a junta B para determinar torce no membro BC

Observe que a força de reação em B só pode agir para cima, portanto, se for negativa, a treliça irá subir.

Dito isto, a força de reação em B será negativa quando o membro AB estiver em tensão, que está em θ >   120 ° , então podemos concluir o seguinte:

Quando θ >   120 ° , a treliça subirá no ponto B.

Passo 5

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força BC

∑ F x = 0

A B cos ⁡ 30 ° + B C = 0

B C = - A B cos ⁡ 30 °

Substitua AB pela expressão (1)

B C = - - 4.619 cos ⁡ θ - 30 ° cos ⁡ 30 °

B C = 4.00 cos ⁡ θ - 30 °                 ( 3 )

Podemos ver que a barra está em compressão (valor negativo) ao longo da faixa ( 0   ≤ θ   ≤ 120 ° ), enquanto está em tensão quando θ >   120 ° , e a força de compressão máxima da barra BC é:

T B C m a x = 0   kN

C B C m a x = 4.00   kN

Resposta

T A B m a x = 0

C A B m a x = 4.619   kN

T A C m a x = 4.00   kN

C A C m a x = 4.00   kN

T B C m a x = 0   kN

C B C m a x = 4.00   kN

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