Enunciado

Determine o volume e a área da superfície do sólido obtido pela rotação da área da área do problema erm torno de ( a ) da linha y = 60 m m , ( b ) do eixo y .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o volume gerado pela rotação figura em torno de dois diferentes eixos. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pappus para o volume. Primeiro, precisamos dividir a figura em seis partes e depois encontrarmos seus centros de massa e a área. Fica assim:

Para a área, vamos somar as áreas conhecidas, temos:

A = 20 × 24 + 36 50 + 20 2

A = 1,74   m 2

Para encontrarmos y - , que é distância de cada linha para o eixo de rotação, temos:

x - = ∑ y i A

x - A = 10 + 20 + 35 + 10 + 35 1,74

x - A = 0,19   m 3

Passo 2

Agora, vamos usar teorema de pappus em relação ao eixo y :

V = 2 π y - A V = 2 π ( 0,19 )   V = 1 , 20   m 3

Passo 3

Por fim, para a rotação em torno do eixo y = 60   m m , vamos utilizar o mesmo teorema, entretando, mudaremos a distância para o eixo, dada agora por:

x - = ∑ x i A

x - A = 50 + 40 + 25 + 50 + 25 0,19 x - A = 0 , 0 36   m 3

Vamos substituir no teorema, lembrando que vamos usar a mesma área encontrada anteriormentre. Fica assim:

V = 2 π ( 1,8642 ) V = 0.22   m 3

Resposta

V = 1,20   m 3

V = 0.22   m 3

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