Enunciado

Determine o volume e a área da superfície do sólido obtido pela rotação da área da área do problema erm torno de ( a ) da linha x = 240   m m , ( b ) do eixo y .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o volume gerado pela rotação figura em torno de dois diferentes eixos. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pappus para o volume. Primeiro, precisamos dividir a figura em seis partes e depois encontrarmos seus centros de massa e a área. Fica assim:

Para a área, vamos somar as áreas conhecidas, temos:

A = 2 4 0 × 30 + 300 × 30

A = 16200   m m 2

Para encontrarmos y - , que é distância de cada linha para o eixo de rotação x = 240   m m , temos:

x - = ∑ x i A

x - A = 120 + 15 16200

x - A = 1222200   m m 3

Passo 2

Agora, vamos usar teorema de pappus em relação ao eixo y :

V = 2 π y - A V = 2 π ( 1222200 )   V = 767,93   m 3

Passo 3

Por fim, para a rotação em torno do eixo y , vamos utilizar o mesmo teorema, entretando, mudaremos a distância para o eixo, dada agora por:

x - = ∑ x i A

x - A = 120 + 2 25 16200 x - A = 5589000   m m 3

Vamos substituir no teorema, lembrando que vamos usar a mesma área encontrada anteriormentre. Fica assim:

V = 2 π ( 1,8642 ) V = 351,16   m 3

Resposta

V = 767,93   m 3

V = 351,16   m 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9.98 A caixa d’água AB tem uma tampa hemisférica e é fabricada ocomplaca de aço fina. Determine o volume dentro da caixa.
9.100 Determine a área da superfície e o volume da roda formada pelo giro da seção transversal 360 ° em torno do eixo z .
Determine o valor de a para que a razão x - / y - = 9 .
Determine o centroide dda área mostrada na figura quando a = 50m m .
Determine por integração direta a localização do centroide do sólido limitado pelo plano x z e pela parte mostrada da superfície y = 16 h ( a x - x 2 ) ( b z - z 2 ) / a 2 b 2 .