Enunciado

Determine o volume e a área da superfície do sólido obtido pela rotação da área da área do problema erm torno de ( a ) do eixo x , ( b ) do eixo y .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o volume gerado pela rotação figura em torno de dois diferentes eixos. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pappus para o volume. Primeiro, precisamos dividir a figura em seis partes e depois encontrarmos seus centros de massa e a área. Fica assim:

A = 750 × 1250 - 375 2 π 2

A = 0,717   m 2

Para encontrarmos y - :

x - = ∑ y i A

y - A = 0 + 375 2 + 750 + + 125 2 + 600 0,717

y - A = 1,147   m 3

Passo 2

Agora, vamos usar teorema de pappus em relação ao eixo x :

V = 2 π y - A V = 2 π ( 1,147 )   V = 7,20   m 3

Passo 3

Por fim, para a rotação em torno do eixo y , vamos utilizar o mesmo teorema, entretando, mudaremos a distância para o eixo, dada agora por:

x - = ∑ x i A

x - A = 375 + 750 + 750 + 375 + 375 0,717 x - A = 1,8642   m 3

Vamos substituir no teorema, lembrando que vamos usar a mesma área encontrada anteriormentre. Fica assim:

V = 2 π ( 1,8642 ) V = 11,71   m 3

Resposta

V = 7,20   m 3

V = 11,71   m 3

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