Enunciado

Determine o volume gerado girando a área semicircular em 180 ∘.

Passo 1

Usando o teorema de Pappus, podemos escrever a expressão para o volume do corpo como

V = θ ∑   x ‾ A V = θ x ‾ 1 A 1                                                           ( 1 )

Onde x ‾ é o centroide da área, A é a área e o ângulo de rotação θ

Obtivemos na Tabela que a distância entre o centróide do semicírculo até sua base é 4r / 3π, então, como o raio do círculo é r = 30 mm, a distância entre seu centróide e o eixo z é:

x 1 = 4 ⋅ 30 3 π s i n ⁡ 30 ∘ + 75 = 81.37 m m

Uma vez que meia área do círculo é

A 1 = 30 2 π 2 = 1413.72 m m 2

O ângulo de rotação

θ = 180 ∘ = π r a d

Passo 2

Coloque todos os valores na expressão (2)

V = π ( 81.37 ⋅ 1413.72 )

O volume total é

V = 361391.2 m m 3

Resposta

V = 361391.2 m m 3

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