Enunciado

A haste do parafuso de aço com 10   mm de diâmetro está embutida em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20   mm . Se a tensão de escoamento for σ e , a ç o = 640   MPa para o aço e σ e , b r = 520   MPa para o bronze, determine o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao conjunto. E a ç o = 200   GPa , E b r = 100   GPa

Passo 1

Um conjunto está sendo esticado por uma tração P . O conjunto consiste em um parafuso de aço e uma luva de bronze ao redor dele.

Características do parafuso:

  • Aço: E a ç o = 200   GPa , σ e , a ç o = 640   MPa .
  • Área transversal: A a ç o = π ⋅ 10 2 / 4 = 78,54   mm 2 .
  • Características da luva:

  • Bronze: E b r = 100   GPa , σ e , b r = 520   MPa .
  • Área transversal: A b r = π ⋅ ( 20 2 - 10 2 ) / 4 = 235,62   mm 2 . (Cilindro vazado)

Queremos o maior valor que P pode assumir!

A questão diz que a força aplicada sobre o conjunto é elástica! Essa é a limitação! A força não pode provocar tensões nos materiais que sejam maiores que os limites de escoamento.

Passo 2

Começamos com equilíbrio de forças. Só tem uma direção no problema, e o conjunto tem que sustentar o peso:

∑ F = 0           →           F a ç o + F b r = P

Queremos o P ! Precisamos de mais relações. Vamos ver o que a condição de compatibilidade nos dá.

Passo 3

O peso vai esticar o conjunto, aumentando o tamanho dele. O parafuso e a luva têm que aumentar o mesmo comprimento!

δ a ç o = δ a l

Temos fórmula pra esses caras. Relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F a ç o   L A a ç o   E a ç o = F b r   L A b r   E b r

Podemos substituir os valores e achar uma relação entre as forças. Mas antes disso, vamos ser espertos pra fazer menos conta!

Passo 4

Queremos o valor máximo de P considerando que nenhum dos materiais pode sair do regime elástico! Então esse valor máximo acontece assim que um dos materiais alcançar o limite de escoamento! Temos que descobrir quem escoa primeiro.

Usando a fórmula da tensão, σ = F / A , podemos reescrever a condição de compatibilidade já tratando das tensões!

F a ç o = A a ç o   E a ç o A b r   E b r F b r           →           σ a ç o = E a ç o E b r σ b r           →           σ a ç o = 200   MPa 100   MPa σ b r          

σ a ç o = 2 σ b r

Opa, isso quer dizer que a tensão no aço nesse problema sempre é maior que a tensão no bronze. Então é a parte de aço (o parafuso) quem vai escoar primeiro! A força máxima que o aço pode suportar é

σ m a x , a ç o = σ e , a ç o = 640   MPa           →           F a ç o = σ m a x , a ç o   A a ç o = 640   MPa ⋅ 78,54   mm 2

F a ç o = 50,26   kN

Agora só falta achar a força atuando na luva (bronze).

Passo 5

Voltando pra condição de compatibilidade, vamos substituir os valores para achar F b r

F a ç o   L A a ç o   E a ç o = F b r   L A b r   E b r           →           F b r = 235,62   mm 2 ⋅ 100   MPa 78,54   mm 2 ⋅ 200   MPa F a ç o

F b r = 1,5 F a ç o

Aplique F a ç o = 50,26   kN :

F b r = 75,39   kN

Passo 6

Confirmando o que fizemos: checamos quem sempre vai escoar primeiro (o aço!), vimos o máximo de força que ele aguenta ( F a ç o = 50,26   kN ) e aí achamos o quanto o outro material vai suportar devido a compatibilidade ( F b r = 75,39   kN ). Isso aí é o caso em que o conjunto aguenta o máximo carregamento P ainda sob regime elástico!

Pra achar esse P , volte à condição de equilíbrio:

F a ç o + F b r = P

P = 125,65   kN

Resposta

Maior carga elástica possível: P = 125,65   kN .

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