Enunciado

A viga é suportada pelos três postes A , B e C de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de 75   mm e são feitos de alumínio, para o qual E a l = 70   GPa e σ e , a l = 20   MPa . O poste B tem diâmetro de 20   mm e é feito de latão, para o qual E l a t = 100   GPa e σ e , l a t = 590   MPa . Determine o menor valor de P de modo que ( a ) somente as hastes A e C sofram escoamento e ( b ) todos os postes sofram escoamento.

Passo 1

Três postes apoiam uma viga rígida. Dois carregamentos P são aplicados

Características dos postes A e C :

  • Alumínio: E a l = 70   GPa , σ e , a l = 2 0   MPa .
  • Área transversal: A a l = π ⋅ 75 2 / 4 = 4417,865   mm 2 .
  • Características do poste B :

  • Latão: E l a t = 100   GPa , σ e , l a t = 590   MPa .
  • Área transversal: A l a t = π ⋅ 20 2 / 4 = 314,159   mm 2 .

Queremos o menor valor que P precisa assumir para ocorrer:

  • Caso A : carregamentos P A fazem com que apenas os postes A e C escoem.
  • Caso B : carregamentos P B fazem com que todos os postes escoem.

Beleza, pra verificarmos cada caso, vamos precisar das tensões σ A , σ B e σ C em cada caso. Fórmula da tensão:

σ = F A

Como sabemos as áreas, nos falta achar as forças!

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

Equilíbrio de momentos ao redor de B :

∑ M B = 0           →           4 ⋅ F A + 2 ⋅ P = 2 ⋅ P + 4 ⋅ F C

F A = F C

Beleza, é o que esperávamos mesmo por causa da simetria. Pra facilitar, vamos usar F a l = F A = F C e F l a t = F B .

Agora vejamos o equilíbrio de forças:

∑ F = 0           →           2 F a l + F l a t = 2 P  

Essa condição é verdade pros dois casos ( P é conhecido!). Vamos caçar mais relações. Vejamos a condição de compatibilidade.

Passo 3

O peso vai comprimir os postes, diminuindo o tamanho deles. O poste de latão e os postes de alumínio vão ter que diminuir o mesmo comprimento!

δ l a t = δ a l

Primeiro estamos procurando P para a situação limite em que os postes começam a sofrer escoamento. O menor valor que P precisa no Caso A vai ocorrer no regime elástico. Ótimo! Podemos usar a relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F l a t   L A l a t   E l a t = F a l   L A a l   E a l

Substitua os valores. Como vamos tratar do Caso A primeiro, procure deixar em função de F a l .

F l a t = 0,10 16 F a l

Atenção que só podemos usar essa fórmula enquanto estamos no regime elástico!

Passo 4

Substitua F l a t = 0,102 F a l na condição de equilíbrio, aí teremos uma expressão pro carregamento na situação de regime elástico!

2 F a l + F l a t = 2 P           →           P A = 1,05 08 F a l , A

Para o Caso A ocorrer, precisamos que a tensão nos postes de alumínio seja exatamente σ e , a l = 20   MPa . Pela fórmula da tensão, isso nos dá:

σ e , a l = F a l , A A a l           →           F a l , A = 88,357   kN

O que corresponde a carregamentos para o Caso A de

P A = 1,05 08 F a l , A           →           P A = 92,8 45   kN

Passo 5

Beleza, calma que ainda falta um detalhe pro Caso A ! Temos que conferir se é válido mesmo: se apenas os postes A e C escoaram.

Você tem que conferir isso usando necessariamente o equilíbrio de forças:

2 F a l + F l a t = 2 P           →           F l a t , A = 8,976   kN

Agora que temos a força no poste de latão, verifique se ele ainda está no regime elástico:

σ l a t , A = F l a t , A A l a t           →           σ l a t , A = 28,571   MPa

Beleza, σ l a t , A é menor que σ e , l a t = 590   MPa , como queríamos.

Caso A acabou. Precisaríamos de um carregamento de P A = 92,845   kN .

Vejamos o Caso B !

Passo 6

O Caso B pede que achemos o carregamento F B que faz todos os postes escoarem! Agora precisamos pensar bastante.

Nós sabemos que no limite para começar a escoar, os postes A e C desenvolvem forças de 88,357   kN . Isso aí acontece quando a tensão nesses postes é especificamente σ e , a l = 20   MPa .

Para o poste B escoar, com certeza vamos precisar de um carregamento P B maior que P A = 92,845   kN . A questão deveria ter nos dito o que acontece com A e C para carregamentos mais altos (um gráfico tensão-deformação, por exemplo)...

Como não temos essa informação, vamos assumir que os postes são elastoplásticos! Então a tensão em A e C permanece sendo 20   MPa e a força nesses postes será

F a l , B = 88,357   kN

Progresso! Vamos ver como fica a força F l a t , B no poste de latão para o caso B .

Passo 7

Para achar F l a t , B , usamos a mesma lógica do Passo 4. Queremos que a tensão em B seja exatamente σ e , l a t = 590   MPa !

σ e , l a t = F l a t , B A l a t           →           F l a t , B = 185,354   kN

Passo 8

Show, temos todas as forças! Agora é só calcular o carregamento P B pelo equilíbrio de forças para o Caso B . Usando F a l , B = 88,357   kN   e F l a t , B = 185,354   kN ,

2 F a l + F l a t = 2 P           →           P B = 181,034   kN

Fechou!!

OBS: você não pode usar F l a t = 0,1016 F a l de jeito nenhum no Caso B hein! No Caso B , os postes A e C não estão mais no regime elástico. Fique atento!

Resposta

Menor valor de P para que somente os postes A e C escoem: P A = 92,845   kN .

Menor valor de P para todos os postes escoem: P B = 181,034   kN .

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