Enunciado

O peso de 1500   kN ( ≈ 150   t ) é assentado lentamente no topo de um poste feito de alumínio 2014 -T 6 com núcleo de aço A- 36 . Se ambos os materiais puderem ser considerados elásticos perfeitamente plásticos, determine a tensão em cada um deles.

Passo 1

Fala!

Um peso de 1500   kN é sustentando por um poste feito de dois materiais: internamente de aço e externamente de alumínio. Os materiais devem ser considerados elastoplásticos.

Vamos anotar tudo, e fique atento: a questão fala sobre os materiais serem elastoplásticos, então precisamos checar escoamento!

Características do poste:

  • Parte interna de Aço A- 36 : E a ç o = 200   GPa , σ e , a ç o = 250   MPa . (Tabelado)
  • Parte externa de alumínio 2014 -T 6 : E a l = 73,1   GPa , σ e , a l = 414   MPa . (Tabelado)
  • Área de aço: A a ç o = π ⋅ 25 2 = 1963,495   mm 2 .
  • Área de alumínio: A a l = π ⋅ ( 50 2 - 25 2 ) = 5890,486   mm 2 .

Queremos saber a tensão ocorrendo em cada material!

Primeiro vamos supor que os materiais permanecem elásticos (tensões menores que a tensão de escoamento). Isso significa, nessa questão, em resolver um problema estaticamente indeterminado.

Aí vamos ver se alguma das tensões calculadas é maior que a tensão de escoamento! Se for, vamos tratar de usar o comportamento dos elastoplásticos. Vai ser tranquilo!

Passo 2

Para descobrir a tensão nos materiais, precisamos das forças neles.

Começamos com equilíbrio de forças. Só tem uma direção no problema, e o aço e o alumínio têm que sustentar o peso:

∑ F = 0           →           F a ç o + F a l = 1500   kN  

Show, vamos precisar de mais uma equação. Vejamos a condição de compatibilidade.

Passo 3

O peso vai comprimir o poste, reduzindo o tamanho dele. Tanto a parte de aço quanto a parte de alumínio têm que diminuir o mesmo comprimento!

δ a ç o = δ a l

Temos fórmula pra esses caras. Relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Atenção que só podemos usar essa fórmula agora porque estamos supondo regime elástico! Depois vamos verificar se estamos certos em usar isso.

F a ç o   L A a ç o   E a ç o = F a l   L A a l   E a l

F a ç o = 0,912 F a l

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para achar as forças. Substitua F a ç o = 0,912 F a l na equação que veio do equilíbrio:

F a ç o + F a l = 1500   kN           →           1,912 F a l = 1500   kN

F a l = 784,52   kN

F a ç o = 0,912 F a l           →         F a ç o = 715,48   kN

Passo 5

Divida cada força pela área, assim temos as tensões:

σ = F A

σ a l = 784,52   kN 5890,486   mm 2 = 133,18   MPa

σ a ç o = 715,48     kN 1963,495   mm 2 = 364,39   MPa

Calma que não acabou! Temos que checar se estamos no regime elástico mesmo!!

A tensão no alumínio é menor que a tensão de escoamento dele, σ a l < σ e , a l . Show!

Mas a tensão no aço está maior que a tensão de escoamento: σ a ç o > σ e , a ç o ... Iiiiih, deu xabu!

Temos que pensar o problema de novo. Mas agora a gente sabe o seguinte: o aço com certeza vai escoar!

Passo 6

Como os materiais são elastoplásticos, quando eles atingem a σ e , a tensão que eles suportam não vai aumentar mais. Ele só continuam deformando indefinidamente. Cê pode ver isso no gráfico de deformação de um material elastoplástico:

Assim, a tensão neles vai continuar sendo a tensão de escoamento! Então a tensão no aço é na verdade:

σ a ç o = σ e , a ç o = 250   MPa

Beleza, pro aço acabou!! Agora vamos ver pro alumínio!

Se o aço está sob tensão σ a ç o = 250   MPa , podemos multiplicar pela área A a ç o pra saber qual é o máximo de carregamento que ele está aguentando:

σ = F A           →         F a ç o = 250   MPa ⋅ 1963,495   mm 2

F a ç o = 490,87   kN

Aí a gente volta pra equação de equilíbrio:

F a ç o + F a l = 1500   kN           →         F a l = 1009,13   kN

Atenção: você tem que fazer essa conta com a condição de equilíbrio! A relação F a ç o = 0,912 F a l que achamos pela compatibilidade só seria válida se os dois materiais estivessem em regime elástico, mas eles não estão. Cuidado com isso!

Passo 7

Está quase lá, vamos ver a tensão no alumínio:

σ = F A           →         σ a l = 1009,13   kN 5890,486   mm 2

σ a l = 171,31   MPa

Não esqueça de conferir se essa tensão ultrapassou o limite de escoamento σ e , a l = 414   MPa .

Como σ a l < σ e , a l , então está tudo certo e acabou! Se por acaso tivesse dado maior, significaria que o alumínio também escoou e que o poste não conseguiu suportar o peso!

Ufa! Terminamos!

Resposta

Tensão na parte de aço: σ a ç o = 250   MPa .

Tensão na parte de alumínio: σ a l = 171,31   MPa .

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