Enunciado

Resolva o Problema 4.106 se o diagrama de tensão-deformação for definido por σ = c ϵ 3 / 2 .

Passo 1

Uma haste está pendurada. A extremidade superior está engastada e a inferior está livre.

Essa questão não tem números, vamos anotar tudo que sabemos.

Características da haste:

  • Comprimento inicial: L .
  • Área transversal: A .
  • Peso específico: γ .

Além disso, sabemos que a relação tensão-deformação é não linear, regida por

σ = c ϵ 3 / 2

Até aqui é pra considerarmos tudo conhecido! Inclusive aquela constante c !

O forçamento sobre a haste vai ser seu próprio peso! Em uma distância x a partir do engaste, a força puxando o segmento para baixo é

F ( x ) = γ   A   x

Queremos saber o quanto a extremidade livre se desloca para baixo: δ .

A tensão e deformação aqui interagem de forma não linear, então não podemos usar as fórmulas que estamos acostumados! Vamos ter que apelar para as definições.

Passo 2

A definição da deformação é o deslocamento dividido pelo comprimento inicial, mas isso é calculado em segmento bem pequeno (infinitesimal)! Então escrevemos com diferenciais:

ϵ ( x ) = d δ ( x ) d x

E é claro, isso é calculado em seção a uma distância x do engaste.

Beleza! Agora para a tensão, como a haste tem área constante e nenhum concentrador de tensão, podemos pensar em tensão axial média para ela toda:

σ ( x ) = F ( x ) A

Passo 3

Não se assuste, tá tranquilo. Só juntar isso tudo agora com a relação que a questão nos deu.

σ = c ϵ 3 / 2           →         F x A = c d δ x d x 3 / 2  

Estamos procurando o deslocamento da haste, então vamos isolar o diferencial d δ :

d δ = F x c   A 2 / 3 d x

Substitua a fórmula da força e integre:

d δ = γ   A   x c   A 2 / 3 d x

δ = γ 2 / 3 c 2 / 3 ∫ 0 L x 2 / 3   d x

δ = γ 2 / 3   c 2 / 3 3 L 5 / 3 5 - 3 ⋅ 0 3 3

δ = 3 5 γ 2 / 3   L 5 / 3   c 2 / 3

Resposta

Deflexão:

δ = 3 5 γ 2 / 3   L 5 / 3   c 2 / 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A viga rígida é sustentada por três cabos de aço A- 36 , cada um com comprimento de 1,2m . A área de seção transversal de A B e E F é 10mm 2 , e a área da seção transversal de C D é 4mm 2 . Determine
A viga é suportada pelos três postes A , B e C de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de 60mm e são feitos de alumínio, para o qual E a l = 70GPa e σ e , a l = 20MPa . O poste B é feito
A barra tem área de seção transversal de 300mm 2 e é feita de um material cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado pelos dois segmentos da reta mostrados na figura. Determine o alongamento
A força P é aplicada à barra, a qual é composta por um material elástico perfeitamente plástico. Construa um gráfico para mostrar como a força varia em cada seção A B e B C (ordenadas) à medida que P
A barra com diâmetro de 50mm está presa em suas extremidades e suporta a carga axial P . Se o material for elástico perfeitamente plástico como mostra o diagrama tensão-deformação, determine a menor c