Enunciado

90. Dois binários agem sobre a estrutura. Se d = 1,2   m , determine o momento de binário resultante. Calcule o resultado decompondo cada força em componentes x e y e

(a)encontrando o momento de cada binário (Equação 4.13)

Passo 1

Fala!

Então o enunciado quer o momento binário resultante que age sobre a viga. Mas ele pede que a gente faça isso calculando o momento causado por cada par de força, para deixar isso claro, ele menciona a fórmula 4.13

M → = r → × F →

Ela faz exatamente isso: calcula o momento de binário causado por cada parzinho de força. Sendo que r → é o vetor entre o par de forças (começa na linha de ação de uma força e vai até a linha de ação de outra).

E F → é o vetor de uma das forças que forma o binário. Aqui, a gente sempre vai escolher a força do par de forças que fica posicionada mais à esquerda ou/e mais acima. Porque isso vai facilitar achar esse vetor r → .

O momento binário resultante é a soma dos momentos binários das forças. Então a gente vai calcular os binários causados por cada par de forças, somar e ver que valor achamos.

Bora!

Passo 2

Vamos começar calculando o momento binário do par de forças F 1 = 300   N .   Precisamos da sua forma vetorial, e assim, das suas componentes em x e y .

Para decompor F 1 em y , vamos usar o triângulo retângulo dado em sua orientação. Como o lado que vale 4 é paralelo ao eixo y , para achar a componente da força nesse eixo, multiplicamos o módulo da força por 4 / 5 , assim:

F 1 y = - F 1   4 5 = - 300 4 5

Ela fica negativa, porque estamos olhando para a força de 300   N que está mais a direita. Ela está apontando para o sentido negativo de y .

Já a sua coordenada em x fica

F 1 x = F 1 3 5 = 300 3 5

Isso porque o lado 3 do triangulo é paralelo ao eixo x e essa componente aponta para o sentido positivo do eixo.

Nosso vetor fica:

F → 1 = 300 3 5 , - 300 4 5 N

Passo 3

O vetor r 1 → entre essas forças pode ser achado da seguinte maneira: nós achamos a distância entre as linhas de ação das nossas forças. Pela figura, essa distância vale 1,2   m . Aí a gente coloca a componente que representa o eixo paralelo a essa distância.

Como nossa distância entre a linha de ação das forças está paralelo a x , usamos o vetor unitário i . Aí nosso vetor fica:

r → = 1,2   i

Só podemos fazer isso porque escolhemos a força mais a esquerda.

E o momento binário é:

M → 1 = 300 3 5 i - 300 4 5 j × 1,2 i

Passo 4

Agora vamos calcular o momento em relação ao par de F 2 = 2 00   N . Vamos achar o vetor da força que está mais acima. As componentes dela são:

F 2 x = - 200 cos ⁡ 30 °

F 2 y = 200   s e n   30 °  

A componente x é negativa porque a força aponta para o sentido negativo de x .

O vetor da força é

F → 2 = - 200 cos ⁡ 30 ° ,   200   s e n   30 °

E o vetor r 2 → vai ser achado usando o mesmo bizu do passo anterior. A distância entre a linha de ação das forças é d = 1,2   m . Já que essa distância é paralela a y , nosso vetor fica

r 2 → = 1,2   j

Só podemos fazer isso porque escolhemos a força mais acima.

Assim, o momento desse par é

M 2 → = - 200 cos ⁡ 30 ° i +   200   s e n   30 ° j × 1,2 j

Passo 5

Vamos calcular o momento binário resultante:

M R → = ∑ M →

M R → = M 1 → + M 2 →

Calculando:

M R → = 300 3 5 i - 300 4 5 j × 1,2 i + - 200 cos ⁡ 30 ° i +   200   s e n   30 ° j × 1,2 j

= 288   k - 207,84 k

= 80,1 6   k

Assim

M R = 80,16   N . m

Resposta

O momento de binário é:

M = 80,16   N ⋅ m

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