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As duas forças F 1 e F 2 que atuam em A possuem uma força resultante F R = - 100 k   N . Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados de F 2 .

Passo 1

Queremos encontrar a F 2 já tendo F R e F 1 , vamos começar decompondo essa última:

De início já podemos encontrar a direção k , dado que a força faz 50 ° com o plano x y :

F 1 z = F 1 sin ⁡ 5 0 °

F 1 z = 60 sin ⁡ 5 0 °

F 1 z = 46   N

Já, a projeção no plano x y é dada por:

F 1 x y = F 1 cos ⁡ 5 0 °

F 1 x y = 6 0 cos ⁡ 5 0 °

F 1 x y = 39   N

E então podemos decompor em x e y :

Temos em x :

F 1 x = F 1 x y cos ⁡ 30 °

F 1 x = 39   cos ⁡ 30 °

F 1 x = 34   N

E temos em y :

F 1 y = F 1 x y sin ⁡ 30 °

F 1 y = 39   sin ⁡ 30 °

F 1 y = 20   N

E o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 = - 34 i + 20 j - 46 k   N

Repare que o sinal da direção i e k é negativo devido o sentido da força representado na imagem.

Passo 2

Agora vamos igualar o somatório das forças a nossa F R :

F R = F 1 + F 2

F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k

F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k = F R x i + F R y j + F R z k - F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k

F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k = - 100 k - - 34 i + 20 j - 46 k  

F 2 x = 34   N

F 2 y = - 20   N

F 2 z = - 54   N

E a intensidade de F 2 em módulo será:

| F 2 |   = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2

| F 2 |   = 34 2 + - 20 2 + - 54 2

| F R |   = 6 7   N

Passo 3

Por último, achamos seus ângulos de direção coordenados:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 34 67 = 59 °

β = cos - 1 ⁡ - 20 6 7 = 107 °

γ = cos - 1 ⁡ - 54 6 7 = 144 °

Resposta

| F R |   = 67   N

α = 59 °

β = 107 °

γ = 144 °

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