Enunciado

As duas rodas do Prob. 6/82, mostradas aqui novamente, representam duas condições extremas de distribuição de massa. Para o caso A toda a massa m é assumida como sendo concentrada no centro do aro, na barra axial de diâmetro desprezível. Para o caso B toda a massa m é assumida como sendo concentrada no aro. Determine a velocidade do centro de cada aro, após ter se deslocado uma distância x para baixo na inclinação a partir do repouso. Os aros rolam sem deslizar.

Passo 1

Nos dois casos, o fenômeno é o mesmo. O aro parte do repouso ( T 0 = 0 ) e, conforme desce, sua energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética:

Δ U + Δ T = 0

T = - Δ U

A energia cinética total pode ser escrita como a soma das energias de translação e rotação:

T = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

E a variação da energia potencial gravitacional pode ser escrita da seguinte forma:

Δ U = - m g h = - m g x sen ⁡ θ

Então:

1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2 = m g x sen ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos analisar cada caso separadamente. No caso A , como toda a massa está concentrada no centro, teremos:

I = 0

Então:

1 2 m v A 2 = m g x sen ⁡ θ

v A = 2 g x sen ⁡ θ  

E no caso B temos que usar a expressão para o momento de inércia de um aro:

I = m r 2

E também vamos reescrever a velocidade angular como ω B = v B / r :

1 2 m v B 2 + 1 2 m r 2 v B 2 r 2 = m g x sen ⁡ θ

1 2 m v B 2 + 1 2 m v B 2 = m g   x sen ⁡ θ

v B = g x sen ⁡ θ

Resposta

As velocidades serão v A = 2 g x sen ⁡ θ   e v B = g x sen ⁡ θ   .

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