Enunciado

Um eixo de 36   m m de diâmetro é feito de uma classe de aço, com uma resistência ao escoamento na tração de 250   M P a . Usando o critério da máxima energia de distorção, determinar a intensidade do torque T , para que o início do escoamento ocorra quando P = 200   k N .

Passo 1

Todos nós sabemos que existe um limite de carga para que as estruturas mecânicas não caiam em nossas cabeças. Esse limite é dado pela tensão aplicada a uma certo ponto da estrutura e pode ser definido segundo diversos critérios. Neste problema vamos utilizar o da máxima energia de distorção.

O critério da máxima energia de distorção é da forma:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

Ok, mas e o torque aonde isso vai aparecer?

Ótima pergunta jovem, ao final vamos aplicar a equação do torque em relação à tensão de cisalhamento:

T = J ⋅ τ x y c

Passo 2

Neste exercício as tensões não foram fornecidas logo de cara então vamos ter de calculá-las a partir da área e da força aplicada:

σ x = P A

σ x = - 200000 π ⋅ 0,018 2

Negativo porque é uma compressão e o raio é igual à metade do diâmetro:

σ x = - 196,5   M P a

E

σ y = 0

Já que não há forças em y .

Passo 3

Agora vamos calcular a máxima energia de distorção:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

Repare que precisamos dos termos σ a e σ b que são as tensões máxima e mínima e são calculados da seguinte forma:

σ a = σ m é d + R

σ b = σ m é d - R

A tensão média será:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = σ x + 0 2 = σ x 2

Assim:

σ a = σ x 2 + R

σ b = σ x 2 - R

Passo 4

Mas não temos o raio e por isso vamos utilizar a equação do raio do ciclo de Mohr:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Lembrando que σ y = 0

Vamos substituir o raio conforme o passo 2:

σ a = σ x 2 + σ x 2 2 + τ x y 2

σ b = σ x 2 - σ x 2 2 + τ x y 2

Passo 5

Agora nós vamos aplicar o critério, para simplificar iremos tirar calcular só a parte dentro da raíz por enquanto:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

Vamos fazer passo-a-passo:

σ a 2 = σ x 2 + σ x 2 2 + τ x y 2 2

σ a 2 = σ x 2 4 + σ x ⋅ σ x 2 2 + τ x y 2 + σ x 2 4 + τ x y 2

Agora vamos fazer para σ b 2

σ b 2 = σ x 2 - σ x 2 2 + τ x y 2 2

σ b 2 = σ x 2 4 - σ x ⋅ σ x 2 2 + τ x y 2 + σ x 2 4 + τ x y 2

E finalmente para σ a ⋅ σ b

σ a ⋅ σ b = σ x 2 + σ x 2 2 + τ x y 2 ⋅ σ x 2 - σ x 2 2 + τ x y 2

σ a ⋅ σ b = σ x 2 4 - σ x 2 4 + τ x y 2 = - τ x y 2

Ufaaa, agora substituindo esses valores:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2 = σ x 2 2 + 2 ⋅ σ x 2 4 + τ x y 2 + τ x y 2

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2 = σ x 2 + 3 τ x y 2

Como temos a nossa raíz:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2 = σ x 2 + 3 τ x y 2

Passo 6

Como o limite é igual a 250   M P a vamos ter:

σ x 2 + 3 τ x y 2 = 250

3 τ x y 2 = 250 2 - σ x 2

Subsituindo σ x

3 τ x y 2 = 250 2 - - 196,5   2

3 τ x y 2 = 23887,75

τ x y = 89,23   M P a

Passo 7

Agora é só substituir na equação da torção:

T = J ⋅ τ x y c

lembrando que utilizamos c como a maior distância, logo o raio e J é o momento polar de inércia calculado como:

J = π 2 ⋅ r 4

J = π 2 ⋅ 0,018 4

J = 1,648 × 10 - 7 m 4

Substituindo:

T = J ⋅ τ x y c

T = 1,648 × 10 - 7 ⋅ 89,23   × 10 6 0,018

T = 817   N ⋅ m

Resposta

T = 817   N ⋅ m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 250 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 450 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 825 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da
11. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 250 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 450 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 825 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da
12. Um extensômetro está montado no eixo de aço A - 36 de 25m m de diâmetro como mostra a figura. Quando o eixo está girando a uma velocidade angular ω = 1760r e v / m i n e usando um anel corrediço,
13. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 350 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 400 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 675 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da d
Estime o aumento no volume do taque do Problema 10.59 . Dica: Use os resultados do Problema 10.54 como confirmação.