Enunciado

O eixo maciço com 60   mm de diâmetro está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e trace um rascunho da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.

Passo 1

Um eixo preso a uma parede sofre uma torção uniformemente distribuída t = 2   kNm/m e algumas torções concentradas.

Queremos achar a tensão de cisalhamento em dois pontos: A   e B .

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio: r = 60 / 2 = 30   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π ⋅ 30 4 / 2 = 1272345,025   mm 4 .

O J é constante pro eixo todo. Os pontos A e B estão na borda do eixo (então usamos r = 30   mm ) . O que nos falta saber é a torção T A e T B nas seções transversais em A e B !

Depois disso, a questão pede que desenhos a tensão em um elemento de volume (um cubinho!) onde esses pontos estão.

Passo 2

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo. Isso é tranquilo!

Primeiro, escolha um sentido do torque pra ser positivo. Vamos escolher o sentido A a C para isso. Aponte seu dedão direito nesse sentido. Se o torque seguir seus dedos quando fecham, é positivo. Se não seguir, negativo

Aí quebre o eixo em seções. Vamos por partes, calculando o torque.

  • Torque na seção a partir da extremidade livre até A :
  • T A = + 400   Nm

  • Torque na seção da extremidade livre até B :

T B = + 400   Nm - 600   Nm + 2   kNm/m ⋅ 0,4   m = + 600   Nm

Passo 3

Agora que temos os torques, vamos usar a fórmula para achar a tensão.

Primeiro a tensão τ A no ponto A :

τ = T   r J         →         | τ A | = | + 400     N m |   ⋅ 30   mm 1272345,025     mm 4

| τ A | = 9,43   MPa

Agora a tensão τ B em B :

τ = T   r J         →         | τ B | = | + 600   N m |   ⋅ 30   mm 1272345,025   mm 4

| τ B | = 14,15   MPa

Beleza, mas e os sinais? Essas tensões estão apontando pra onde? Tudo depende de como você corta a seção!

Passo 4

Vamos olhar uma seção que vai da extremidade livre até a seção transversal em A .

Seguindo a nossa convenção (Passo 2), temos + 400   Nm aplicado na extremidade livre, e aí o torque interno em A tem que ser - 400   Nm para equilibrar! Negativo!

Se é negativo, aponte seu dedão para extremidade livre e feche os dedos. Veja o sentido que seus dedos apontam para como o ponto A está no eixo! Vai ser a seta vermelha na figura.

A face onde está a seta vermelha é a face mais externa para o ponto A segundo a seção que estamos imaginando! Para achar o sentido das outras setas é fácil, só pensar no equilíbrio em cada direção!

Passo 5

Agora vamos ver uma seção que vai da extremidade livre até a seção transversal em B .

Seguindo a nossa convenção (Passo 2), temos + 600   Nm aplicado na extremidade livre, então o torque interno em B tem que ser - 600   Nm para equilibrar! Negativo!

Se é negativo, aponte seu dedão para extremidade livre e feche os dedos. Veja o sentido que seus dedos apontam para como o ponto B está no eixo! Vai ser a seta vermelha na figura.

A face onde está a seta vermelha é a face mais externa para o ponto B segundo a seção que estamos imaginando! Para achar o sentido das outras setas é fácil, só pensar no equilíbrio em cada direção!

Resposta

Tensão em A : τ A = 9,43   MPa .

Tensão em B : τ B = 14,15   MPa .

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