Enunciado

O elevador de carga e a carga têm massa total de 800 kg, e o contrapeso C tem massa de 150 kg. Em um dado instante, o elevador tem uma velocidade para cima de 2 m/s e uma aceleração de 1,5 m/s2. Determine a potência gerada pelo motor M neste instante se ele opera com uma eficiência de ϵ = 0,8 .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa total elevador de carga: m = 800   k g ;

Massa contrapeso: m C = 150 kg;

Velocidade do elevador: v = 2 m/s;

Aceleração do elevador: a = 1,5   m / s 2 ;

Eficiência do motor: ϵ = 0,8 .

Devemos determinar a potência gerada pelo motor M neste instante.

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre da caixa e do elevador de carga, respectivamente:

Onde W C = m c g e W E = m g são a força peso do contrapeso e elevador, respectivamente; T é a força de tração exercida pelo cabo que liga o elevador ao motor; e T ' é a força de tensão exercida pelo cabo que liga o contrapeso ao elevador.

Como o contrapeso e o elevador estão ligados por um mesmo cabo, a velocidade e a aceleração de ambos terão o mesmo valor em módulo.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar os diagramas de corpo livre aplicando a Equação do Movimento:

∑ F = m a

Para o contrapeso, temos que

∑ F y = m a y

T ' - W C = m C a

T ' = m C a + m C g

T ' = 150 - 1,5 + 9,81 = 1246,5   N

Para o elevador, temos que, no eixo y

∑ F y = m a y

T ' + 2 T - W E = m a

T ' + 2 T = m a + m g

T ' + 2 T = 800 1,5 + 9,81 = 9048  

Substituindo o valor de T ' , obtemos

1246,5 + 2 T = 90 48

T = 3900,75   N

Passo 3

A questão pede para determinarmos a potência do motor. Para isso, utilizaremos somente os dados da força de tensão T , pois é ela que liga o elevador ao motor.

Sabemos que, por definição, a potência é dada por

P = F v

Como podemos ver na imagem fornecida pelo enunciado e pelo diagrama de corpo livre do elevador, a força F será igual à 2 T .

Logo, temos que

P = 2 T v

P = 2 3900,75 2 = 15603   W

Esta é a potência de saída, ou seja, a potência necessária para conseguir movimentar o elevador nas condições dadas.

Devemos utilizar a eficiência do motor para obter a potência de entrada produzida por ele.

Sabemos que

ϵ = P s a í d a P e n t r a d a

Colocando P e n t r a d a em evidência, temos que

P e n t r a d a = P s a í d a ϵ

P e n t r a d a = 15603 0,8

P e n t r a d a = 19503,75   W

Resposta

P e n t r a d a = 19 , 5   k W

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