Enunciado

Encontre o ângulo de inclinação θ com a horizontal de forma que a força de contato em B seja a metade daquela em A para o cilindro liso.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ da superfície com a horizontal para que a força de contato no ponto A seja o dobro do ponto B.

Bora lá! Vamos começar desenhando o diagrama de corpo livre que representa este problema:

A superfície de contato do cilindro com os pontos A e B é lisa, então a força de contato nestes pontos é normal a esta superfície. Sendo assim, N A e N B formam, respectivamente, ângulos de 45 ° + θ e 45 ° - θ com o eixo x .

Show de bola! Neste caso, vamos usar então a equação de equilíbrio no eixo x , considerando que as forças são positivas quando apontam para o sentido positivo de x :

∑ F x = 0

N A cos ⁡ ( θ + 45 ° ) - N B cos ⁡ 45 ° - θ = 0

Como nos foi dito que:

N B = 1 2 N A

Temos:

N A cos ⁡ ( θ + 45 ° ) - N A 2 cos ⁡ 45 ° - θ = 0

Passo 2

Aqui nós temos um problema: duas incógnitas ( N A e θ ) para apenas 1 equação. Para resolver esta questão, vamos usar a seguinte relação:

cos ⁡ α = sen ⁡ ( 90 ° - α )

Para 0 < α < 90 ° , então:

cos ⁡ 45 ° - θ = sen ⁡ ( 90 ° - 45 ° + θ )

cos ⁡ 45 ° - θ = sen ⁡ ( 45 ° + θ )

∴ N A cos ⁡ ( θ + 45 ° ) - N A 2 sen ⁡ 45 ° + θ = 0

Com a condição que:

0 < 45 ° - θ < 90 °

- 45 ° < - θ < 45 °

45 ° < θ < - 45 °

Passo 3

Show! Agora vamos voltar à nossa equação para ver como isso nos ajuda.

N A cos ⁡ θ + 45 ° - 1 2 sen ⁡ θ + 45 ° = 0

Para satisfazer essa equação temos ou N A = 0 ou cos ⁡ θ + 45 ° - 1 2 sen ⁡ θ + 45 ° = 0 , uma vez que neste caso obrigatoriamente N A ≠ 0 .

cos ⁡ θ + 45 ° - 1 2 sen ⁡ θ + 45 ° = 0

cos ⁡ θ + 45 ° = 1 2 sen ⁡ θ + 45 °

2 cos ⁡ θ + 45 ° = sen ⁡ θ + 45 °

2 = sen ⁡ ( θ + 45 ° ) cos ⁡ ( θ + 45 ° )

2 = tan ⁡ θ + 45 °

θ + 45 ° = tan 1 ⁡ 2

θ = 63,43 ° - 45 °

θ = 18,43 °

Para conferir este resultado, temos que lembrar da condição que estabelecemos no Passo 2:

45 ° < θ < - 45 °

Ou seja, nosso θ calculado satisfaz essa condição!

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

θ = 18,43 °

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Para a estrutura e carregamento mostrado na figura, determine as reações em A e C.
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O suporte em forma de T mostrado na figura é suspenso por uma pequena roda em E e por cavilhas em C e D. despresando o efeito do atrito, determine as reações em C, D e E quando θ=30°.
O suporte em forma de T mostrado na figura é apoiado por uma pequena roda em E e por cavilhas em C e D. despresando o efeito do atrito, determine (a) o menor valor de θ para que seu equilíbrio seja ma