Enunciado

A esfera em A é empurrada para baixo com velocidade v 0 de intensidade 5 m/s e oscila em um plano vertical na extremidade de uma corda de comprimento l = 2   m , presa a um apoio em O . Determine o ângulo θ no qual a corda irá romper-se, sabendo que ela pode resistir a uma tração máxima igual ao dobro do peso da esfera.

Passo 1

Vamos lá! Como estamos em um capítulo que trabalha com trabalho e energia, vamos utilizar esta metodologia para resolver esta questão! Assim, vamos começar identificando cada um dos termos para aplicarmos este princípio.

No ponto inicial, a esfera possui uma velocidade v 0 . Já no ponto final, ela terá velocidade v (que nada sabemos ainda). Portanto, as energias cinéticas são:

T 1 = m v 0 2 2

T 2 = m v 2 2

E como a única força a qual a esfera está submetida é a força peso, o trabalho desta força sobre a esfera será:

U 1 → 2 = - m g Δ h = m g l sen ⁡ θ

Portanto, pelo princípio de trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

m v 0 2 2 + m g l sen ⁡ θ = m v 2 2

v 0 2 = v 2 - 2 g l sen ⁡ θ

E chegamos assim a uma equação com duas incógnitas ( v 2 e sen ⁡ θ ). Precisamos de outra equação para montarmos um sistema e descobrirmos quem é o ângulo θ (na real a gente descobre o seno, mas aí saí o θ automaticamente!).

Passo 2

Agora, vamos ter que utilizar a informação de que a corda se rompe quando a tração for duas vezes o valor do peso. Mas para isto, será necessário fazemos o diagrama de corpo livre da esfera. Portanto, temos:

A ideia aqui é descobrir qual o ângulo θ cuja tensão de tração será igual ao dobro do peso, isto é, T = 2 W = 2 m g .

Como a esfera está em um movimento circular, temos então a presença de uma força centrípeta. Fazendo o somatório das forças na direção normal a curva, temos:

∑ F n = m a n

T - W sen ⁡ θ = m v 2 l

2 m g - m g sen ⁡ θ = m v 2 l

v 2 = 2 l g - l g sen ⁡ θ

E assim chegamos a nossa segunda equação com duas incógnitas!

Passo 3

Agora só nos resta resolvermos o nosso sistema de equação. Relembrando-o, temos:

v 0 2 = v 2 - 2 g l sen ⁡ θ v 2 = 2 l g - l g sen ⁡ θ

Agora é fácil! Basta substituirmos a segunda equação na primeira e desenvolvermos. Portanto,

v 0 2 = 2 l g - l g sen ⁡ θ - 2 g l sen ⁡ θ

v 0 2 = 2 l g - 3 l g sen ⁡ θ

sen ⁡ θ = 2 l g - v 0 2 3 l g = 2 ⋅ 2 ⋅ 9,81 - 5 2 3 ⋅ 2 ⋅ 9,81 = 0,24193

θ = arcsen ⁡ 0,2419 3 = 14 °

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

θ = 14 °

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O contêiner do caminhão de entrega de alimentos para o suprimento de aeronaves tem uma massa m quando está carregado e é elevado por meio da aplicação de um momento M na extremidade inferior da barra
O bloco deslizante recebe uma aceleração horizontal para a direita que é aumentada lentamente até um valor constante a . O pêndulo anexado de massa m e centro de massa G assume um deslocamento angular
A carga de massa m é suportada pelas hastes leves paralelas e pelo batente fixo A . Determine a aceleração angular inicial α das barras devido à aplicação do momento M a uma extremidade como mostrado.
A barra esbelta uniforme de massa m é mostrada na sua configuração de equilíbrio antes da força P ser aplicada. calcule a aceleração angular inicial da barra após a aplicação de P .
Cada uma das barras A e B tem uma massa de 4k g e a barra C tem uma massa de 6k g . calcule o angulo assumido pelas barras se o corpo a que estão fixadas recebe uma aceleração horizontal constante α d