Enunciado

Uma esquiadora parte do repouso em A (10m, 0) e desce o declive liso que pode ser aproximado por uma parábola. Se a esquiadora tem massa de 52 kg, determine a força normal que o solo exerce sobre ela no instante que ela chega ao ponto B . Despreze a dimensão da esquiadora. Dica: use o resultado do Problema 13.75.

Passo 1

Sabemos que o declive é liso, portanto a Força de Resistência à tração é desprezível ( F f = 0 ) , e que ele é definido pela seguinte equação:

y = 1 20 x 2 - 5

Além disso, temos os seguintes dados:

massa da esquiadora: M = 52   kg

gravidade: g = 9,81   m/s2

Coordenadas ponto A : (10m, 0)

Coordenadas ponto B : (0, - 5m)

Velocidade incial v A = 0   m/s

Analisando o enunciado, podemos ver que o problema envolve o movimento do corpo ao longo de uma trajetória curva conhecida. Quando temos este tipo de trajetória, é necessário traçar um novo eixo com as coordenadas normais e tangenciais a fim de facilitar a resolução do problema. Assim, obtemos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde W = força peso

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Sabemos que

W = M g

a n = v 2 ρ

a t = d v d t

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado.

A questão pede para encontrarmos a Força Normal N no ponto B (0, -5m).

Passo 2

Primeiramente, analisamos a geometria da situação. Temos que

y = 1 20 x 2 - 5

d y d x = 1 10 x

d 2 y d x = 1 10

Para o ponto B , x = 0 m, temos

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 = 1 + 1 10 x 2 3 2 1 10 x = 0 = 10   m

Em seguida, devemos encontrar o ângulo θ no ponto B .

Olhando novamente o diagrama de corpo livre, podemos ver que

tan ⁡ θ = d y d x

Logo, para x = 0 m, temos

tan ⁡ θ = d y d x x = 0 = 0

θ = 0 °

Passo 3

Agora, com os dados obtidos, utilizaremos as Equações de Movimento.

Aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo t , temos

∑ F t = m a t

- W sen ⁡ θ = M a t

- 52 9,81 sen ⁡ θ = 52 a t

a t = - 9,81 sen ⁡ θ

Aplicando a Equação do Movimento no sentido do eixo n , temos

∑ F n = m a n

N - W cos ⁡ θ = M a n

N - 52 9,81 cos ⁡ θ = M v 2 ρ

Passo 4

Prara definirmos o valor de N , precisamos encontrar o valor de v .

O enunciado nos dá a dica para usarmos o resultado da questão 13.75. Nela temos que v = 2 g h , independente da trajetória.

Portanto, o valor de v será

v = 2 g h = 2 g ( 5 ) = 10 g

v 2 = 10 g = 98,1   m / s 2

Passo 5

Substituindo v 2 = 98,1 m/s2, θ = 0 ° e ρ = 10 m em

N - W cos ⁡ θ = M v 2 ρ

Teremos,

N - 52 9,81 cos ⁡ 0 ° = 52 98,1 10

N = 1020,24   N

Resposta

N = 1,02   k N

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