Enunciado

O estado plano de tensões mostrado ocorre em um componente de máquina feito de aço com σ E = 206,9   M P a . Utilizando o critério da máxima energia de distorção, determine se o escoamento ocorrerá quando (a) τ x y = 41,4   M P a , (b) τ x y = 82,7   M P a e (c) τ x y = 96,5   M P a . Se o escoamento não ocorrer, determine o fator correspondente de segurança.

Passo 1

Eae pessoal! Mais um exercício longo, mas nada que a gente não dê conta, pra cima deeele! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o critério da máxima energia de distorção, onde a tensão resultante é dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b

Em que σ a e σ b são as tensões principais, que são encontradas através de:

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Então vamos precisar dos valores para a tensão média e do raio do círculo de Mohr para encontrar a tensão resultante e depois ver se irá escoar ou não, para, por fim, calcular o coeficiente de segurança. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar escrevendo as tensões que nós temos no plano, dadas através do elemento diferencial da figura, que serão:

σ x = 20,7   M P a

σ y = 82,7   M P a

Com esses valores, vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 20,7 + 82,7 2 → σ m e d = 51,7   M P a

Passo 3

Agora vamos começar de fato a letra (a), onde nós temos:

τ x y = 41,4   M P a

Então vamos usar a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

R = 20,7 - 82,7 2 2 + 41,4 2 → R = 51,7   M P a

Então agora podemos calcular as tensões principais descritas lá no passo 1. Dessa forma, teremos:

σ a = σ m e d + R = 51,7 + 51,7 → σ a = 103,4   M P a

σ b = σ m e d - R = 51,7 - 51,7 → σ b = 0

Então, a nossa tensão resultante pelo critério da distorção máxima será:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = 103,4 2 + 0 2 - 103,4 ( 0 ) → σ R = 103,4   M P a

Então, como temos σ R < σ E , isso significa que não haverá escoamento. E, o coeficiente de segurança nesse caso será:

F S = σ E σ R = 206,9 103,4 → F S = 2

Passo 4

Agora para a letra (b), basta repetir os cálculos do passo 3, só que agora com:

τ x y = 82,7   M P a

Então vamos usar a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

R = 20,7 - 82,7 2 2 + 82,7 2 → R = 88,3   M P a

Então agora podemos calcular as tensões principais descritas lá no passo 1. Dessa forma, teremos:

σ a = σ m e d + R = 51,7 + 88,3 → σ a = 140   M P a

σ b = σ m e d - R = 51,7 - 88,3 → σ b = - 36,6   M P a

Então, a nossa tensão resultante pelo critério da distorção máxima será:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = 140 2 + ( - 36,6 ) 2 - 140 ( - 36,6 ) → σ R = 161,4   M P a

Então, como temos σ R < σ E , isso significa que não haverá escoamento. E, o coeficiente de segurança nesse caso será:

F S = σ E σ R = 206,9 161,4 → F S = 1,28

Passo 5

Agora para a letra (c), vamos de novo repetir os cálculos dos passos 3 e 4, só que agora com:

τ x y = 96,5   M P a

Então vamos usar a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

R = 20,7 - 82,7 2 2 + 96,5 2 → R = 101,3   M P a

Então agora podemos calcular as tensões principais descritas lá no passo 1. Dessa forma, teremos:

σ a = σ m e d + R = 51,7 + 101,3 → σ a = 153   M P a

σ b = σ m e d - R = 51,7 - 101,3 → σ b = - 49,6   M P a

Então, a nossa tensão resultante pelo critério da distorção máxima será:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = 153 2 + ( - 49,6 ) 2 - 153 ( - 49,6 ) → σ R = 182,9   M P a

Então, como temos σ R < σ E , isso significa que não haverá escoamento. E, o coeficiente de segurança nesse caso será:

F S = σ E σ R = 206,9 182,9 → F S = 1,13

Belezaaa!! Terminamos mais um, valeeeu!

Resposta

a : F S = 2

b :   F S = 1,28

c :   F S = 1,13

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