Enunciado

Uma estrutura prismática de altura h e base b está submetida a uma carga horizontal, devida ao vento, cuja pressão p aumenta desde zero, na base, até p 0 , no topo, de acordo com p = k y . Determine o momento de reação M na vase da estrutura.

Passo 1

Queremos calcular o momento total M que o vento causa em torno da base, que é igual ao momento de reação que impede o giro. Vamos dividir a pirâmide em elementos infinitesimais retangulares horizontais de altura d y . A força causada pelo vento em cada elemento desses será d F = p   d A , sendo p a pressão para a altura y do elemento a partir da base e d A a área dada pela largura do elemento vezes d y , como mostra a figura:

Passo 2

Vamos obter p e d A em função de y para depois integrarmos nossa expressão de 0 a h . Pela figura, a largura x ( y ) do elemento de altura y é dada pela semelhança de triângulos:

h b = h - y x ⇒ x = b h - y h

⇒ x y = b - b h y

Então a área infinitesimal d A de cada elemento é :

d A = x d y = b - b h y d y

A pressão p ( y ) segue a lei p = k y . Como p h = p 0 :

p 0 = k h ⇒ k = p 0 h

Então a pressão é:

p y = p 0 h y

Passo 3

O valor do momento infinitesimal é então:

d M = y   d F = y   p   d A = y ⋅ p 0 h y ⋅ b - b h y d y = p 0 b h y 3 / 2 - y 5 / 2 h d y

Vamos então integrar:

M = ∫ 0 h p 0 b h y 3 / 2 - y 5 / 2 h d y = p 0 b h y 5 / 2 5 / 2 - y 7 / 2 7 h / 2 0 h = p 0 b h 2 h 5 / 2 5 - 2 h 5 / 2 7

= p 0 b h 14 h 5 / 2 35 - 10 h 5 / 2 35 = p 0 b h 4 h 5 / 2 35 = 4 p 0 b 35 h 5 2 - 1 2 = 4 p 0 b h 2 35

Resposta

M = 4 p 0 b h 2 35

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