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A extremidade livre da corrente de elos de comprimento total L e massa ρ por unidade de comprimento é liberada a partir do repouso em x = 0 . Determine a força R na extremidade fixa e a tração T 1 na corrente na extremidade inferior da parte sem movimento em termos de x . Encontre também a perda total de energia Q quando x = L .

Passo 1

Vamos começar olhando para parte livre da corrente. Essa parte está em queda livre, de forma que sua aceleração é simplesmente g .

a = g

Mas a aceleração da parte livre da corda é simplesmente a derivada segunda da coordenada x :

x ¨ = g

Como a velocidade inicial é nula, isso quer dizer que a velocidade da ponta da corrente é dada por:

v 2 = 2 g x

Passo 2

Vamos tentar aproveitar esse resultado para escrever a tração T 1 na extremidade inferior da parte sem movimento. Podemos pensar nessa força como a que gera o “escoamento” da parte livre para a parte imóvel.

T 1 = m ' Δ v

Nesse caso m ' é a taxa de “escoamento” de massa vinda da parte livre. Olhando para a figura e usando a massa por unidade de comprimento ρ , podemos escrever o seguinte:

m = ρ L - x 2

m ' = d d t ρ L - x 2 = - ρ x ˙ 2 = - ρ v 2

E como a essa tensão precisa desacelerar essa massa:

Δ v = 0 - v = - v

E então:

T 1 = 1 2 ρ v 2

Agora sim, podemos aproveitar o resultado do passo 1 :

T 1 = 1 2 ρ 2 g x = ρ g x

Passo 3

Agora precisamos encontrar a força R que sustenta a parte imóvel da corrente. Já que essa parte não tem aceleração, a segunda lei de Newton dá o seguinte resultado:

∑ F y = 0

Temos as seguintes forças verticais agindo: a tensão T 1 exercida pela outra parte da corda e o peso da porção imóvel voltados para baixo, e a força R voltada para cima:

∑ F y = T 1 + m g - R = 0

E olhando para a figura, podemos escrever uma expressão para a massa da porção imóvel:

m = 1 2 ρ ( L + x )

E então:

ρ g x + 1 2 ρ g L + x - R = 0

Agora é só isolar R :

R = ρ g x + 1 2 ρ g x + 1 2 ρ g L

R = 1 2 ρ g ( L + 3 x )

Passo 4

Agora falta calcular qual é a perda total de energia quando x = L , que é simplesmente o momento em que toda a corrente já “passou para o lado imóvel”.

Como a corrente parte do repouso e termina no repouso, podemos considerar que Δ T = 0 , então vamos nos concentrar na perda de energia potencial.

Vamos definir o zero da energia potencial como estando preso ao teto. A massa total da nossa corrente é:

m = ρ L

E inicialmente (quando a corrente está “dobrada ao meio”) o centro de massa estava a uma altura:

y = - L 4

Então:

U 1 = m g y = - ρ g L 2 4

No final do movimento (quando a corrente está totalmente esticada) o centro de massa está a um altura:

y = - L 2

E a energia potencial é:

U 2 = - ρ g L 2 2

E então o módulo da variação total de energia potencial é:

U 1 - U 2 = 1 4 ρ g L 2

E esse é o valor de Q que estávamos procurando:

Q = 1 4 ρ g L 2

Resposta

A força é R = 1 2 ρ g ( L + 3 x ) , a tração é T 1 = ρ g x e a perda de energia é Q = 1 4 ρ g L 2 .

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