Enunciado

Uma haste tem raio de 10   mm . Se estiver sujeita a uma carga axial de 15   N tal que a deformação axial na haste seja ϵ x = 2,75 ⋅ 10 - 6 , determine o módulo de elasticidade E e a mudança em seu diâmetro. ν = 0,23 .

Passo 1

Uma haste sofre um carregamento axial P = 15   N e deforma ϵ x = 2,75 ⋅ 10 - 6 nessa direção.

Características da haste:

  • Raio: d = 10   mm .
  • Área transversal: A = π r 2 = 314,159   mm 2 .
  • Módulo de elasticidade: E . (Desconhecido!)
  • Coeficiente de Poisson: ν = 0,23 . (Tabelado)

Queremos descobrir o módulo de elasticidade E e depois achar a mudança no diâmetro da haste.

Primeiro vamos definir quais são as tensões agindo na haste.

Passo 2

Adote que a direção x é a direção de aplicação do carregamento. A tensão nessa direção fica

σ x = P A = 0,0477   MPa

Beleza. Agora precisamos de uma relação que tenha isso e o módulo de elasticidade. Lei de Hooke!

Passo 3

Lei de Hooke generalizada: ϵ x = 2,75 ⋅ 10 - 6

ϵ x = 1 E ( σ x - ν ( 0 + 0 ) )

ϵ y = 1 E 0 - ν σ x + 0

ϵ z = 1 E 0 - ν σ x + 0

Como ϵ x = 2,75 ⋅ 10 - 6 , da primeira equação achamos que

E = 17,35   GPa

Agora podemos calcular as outras deformações!

ϵ y = ϵ z = - 632,33 ⋅ 10 - 9

Pra fechar, mudamos o quanto o diâmetro mudou.

Passo 4

Pela definição de deformação e usando uma das deformações radiais:

ϵ y = δ 2 r

- 632,33 ⋅ 10 - 9 = δ 20   mm

δ = - 12,65 ⋅ 10 - 6   mm

Resposta

Módulo de elasticidade: E = 17,35   GPa .

Variação do diâmetro: δ = - 12,65 ⋅ 10 - 6   mm .

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