Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 7.Problemas - Ex. 23

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desse livro

As extremidades da viga de madeira devem ser entalhadas como mostra a figura. Se a viga tiver de suportar o carregamento mostrado, determine a menor profundidade d da viga no entalhe se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 450   M P a . A largura da viga é de 8 metros.

Passo 1

Salve salve galerinha do RespondeAí, tudo belezinha com vocês?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que as extremidades da viga de madeira devem ser entalhadas como mostra a figura. Sabendo que a viga tem que suportar o carregamento mostrado, o enunciado nos pede para determinar a menor profundidade d da viga no entalhe se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 450   M pa e a largura da viga for 8   metros.

A melhor forma de começar a questão é calculando as reações de apoio na viga:

Como o carregamento e as reações são simétricos:

R A = R B

Pelo somatório de forças:

∑ F y = 0

R A - 15 - 20 - 15 + R B = 0

Logo:

R A = R B = 25 kN

Passo 2

Agora calculamos o momento de inércia da região com entalhe. Abaixo tem um desenho da seção:

Esta é uma seção retangular, então o momento de inércia será:

I = b d 3 12

Por enquanto não vamos aplicar valores. Vamos pro próximo passo.

Passo 3

A gente quer calcular a resistência da viga. Então vamos ter que calcular a máxima tensão de cisalhamento.

Pra isso, vamos ter que considerar o momento estático máximo! No desenho, a região do momento estático máximo está destacada em laranja:

O momento estático é calculado multiplicando a área pelo centroide:

Q = A y c

Q = d 2 × b d 4

Logo:

Q = b d 2 8

Passo 4

Até aqui tudo certo! Agora vamos considerar o cisalhamento máximo na figura.

Aplicamos a equação do cisalhamento:

τ = V Q I t

Vamos substituir as expressões de I e Q que já calculamos:

τ = V b d 2 8 b d 3 12 b

E com um pouco de matemágica, vamos simplificar a expressão:

τ = 3 2 × V b d

Perfeito!

Mas o nosso objetivo é o d , então vamos isolá-lo:

d = 3 2 × V b τ

E pra terminar a questão, vamos aplicar os valores conhecidos, b = 8000   mm   e τ = 450   MPa e V = 25   kN :

d = 3 2 × 25   kN 8000   mm 450   M P a

Logo, vamos obter que:

d = 0,0104   mm

Passo 5

O B S : O resultado pode parecer estranho, mas esta questão contém um erro de tradução! Na versão original do livro, a tensão admissível é τ a d m = 3   M P a e a largura da viga é b = 200   m m . E com esses valores, o resultado final seria: d = 62,5   mm .

Resposta

d = 0,0104   mm

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