Enunciado

28. A força de 70   N   age na extremidade do tubo em B. Determine os ângulos θ ( 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° ) da força que produzirá os momentos máximo e mínimo em relação ao ponto A. Quais são as intensidades desses momentos.

Passo 1

Primeiro, o que o enunciado quer saber é qual θ faz o M 0 ser o maior possível e o menor possível.

Concorda comigo que o e menor M 0 possível seria igual a 0 , que nada mais é a força não tendo efeito algum na rotação do tubo.

Vamos analisar uma das maneiras calcular M 0 , que é dado por:

M 0 = F d

Sendo d a distância perpendicular do eixo (no caso o ponto A) até a linha de ação da força, F a força empregada no nosso objeto.

Para o momento máximo ter um valor máximo a linha de ação da força deve ser perpendicular a d e para o momento máximo ser zero como foi dito acima, a linha de ação da força deve ser paralela a d .

Passo 2

Agora vamos descobrir para que valores de θ a linha de ação da força é perpendicular e paralela a d . Vejamos a seguinte figura:

Nela podemos ver o d (para saber o valor de d basta fazer Pitágoras), e ϕ é um ângulo interno triangulo formado.

Você concorda comigo que para a seta que representa a força ser perpendicular a d (o ângulo entre eles ser 90 ° ) a seguinte relação tem que ser satisfeita.

θ + ϕ + 90 ° = 180 °

⇒ θ + ϕ = 90 °

θ = 90 ° - ϕ

Passo 3

Agora vamos descobrir para que valor de θ faz com que a seta da força e d sejam paralelos.

Você concorda comigo que para a seta que representa a força ser perpendicular a d (o ângulo entre eles ser 90 ° ) a seguinte relação tem que ser satisfeita.

θ + ϕ = 180 °

⇒ θ = 180 ° - ϕ

Passo 4

Para acharmos ϕ vamos usar uma relação um artifício trigonométrico bem conhecido que é:

t g   α = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j c e n t e

Logo:

t g   ϕ = 0,9 0,7 ≅ 1,28

⇒ ϕ = a r c t g 1,28 ≅ 52 °

Passo 5

Assim para o ângulo entre d e a linha da força ser 90 ° :

θ = 90 ° - ϕ

⇒ θ = 90 ° - 52 ° = 38 °

Esse valor para θ faz com que o módulo máximo seja o maior.

E para que a seta da força e d sejam paralelos:

θ = 180 ° - ϕ

⇒ θ = 180 ° - 52 ° = 128 °

Esse valor para θ faz com que o módulo máximo seja o menor possível que o caso é 0 .

Passo 6

Agora vamos descobrir a intensidade do momento máximo.

Como o ângulo entre a reta da força e d é 90 ° o momento máximo é dado por:

M 0 = F d

O valor de d é fácil de achar por Pitágoras.

d 2 = 0,9 2 + 0,7 2

⇒ d 2 = 0,81 + 0,49

⇒ d = 1,3 ≅ 1,14

Logo:

M 0 = 70   N ⋅ 1,14   m = 79,8   N ⋅ m

A intensidade mínima como já foi falado é:

M 0 = 0

Resposta

θ = 38 ° para se obter o valor máximo do momento

θ = 128 ° para se obter o valor mínimo do momento

Momento máximo = 79,8   N ⋅ m

Momento mínimo = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O elemento BC conectado à chave inglesa é usado para aumentar o seu braço de alavanca, conforme mostra a figura. Se um momento em sentido horário MA = 120 N  m é necessário para apertar o parafuso em
Se a força F = 100 N, determine o ângulo θ( 0 ≤ θ ≤ 90 ° ) , de modo que a força desenvolva um momento em sentido horário em relação ao ponto O de 20 N . m.
Determine a intensidade da força F que deverá ser aplicada na extremidade da alavanca, de modo que essa força crie um momento em sentido horário de 15 N . m em relação ao ponto O quando θ = 30 ° .
Determine a intensidade e o sentido direcional da força em A em relação ao ponto P .
A grua pode ser ajustada para qualquer ângulo 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° e qualquer extensão 0 ≤ x ≤ 5m . Para uma massa suspensa de 120k g , determine o momento desenvolvido em A em função de x e θ . Que valores