Enunciado

As cavilhas A e B estão restritas a moverem-se nas fendas elípticas devido ao movimento da fenda da barra. Se a fenda da barra se desloca com uma velocidade escalar constante de 10 m/s, determine a intensidade da velocidade e aceleração da cavilha A quando x = 1 m .

Passo 1

Podemos encontrar componentes x e y da velocidade da cavilha, tomando a primeira derivada da equação da trajetória:

x 2 4 + y 2 = 1

1 4 2 x x ̇ + 2 y y ˙ = 0

1 2 x x ˙ + 2 y y ˙ = 0

Da mesma forma, podemos reescrever a equação acima:

1 2 x v x + 2 y v y = 0

Passo 2

Aplicamos x = 1 na equação da trajetória :

( 1 ) 2 4 + y 2 = 1

y = 3 2 m

Usamos a equação encontrada no passo 1 e substituímos v x = 10   m / s e x = 1 :

1 2 ( 1 ) ( 10 ) + 2 3 2 v y = 0

v y = - 2.887   m / s

v y = 2.887   m / s ↓

E calculamos a magnitude da velocidade:

v = v x 2 + v y 2 = 10 2 + 2.887 2 = 10.4   m / s

Passo 3

Podemos encontrar componentes x e y da aceleração da cavilha, tomando a segunda derivada da equação da trajetória:

1 2 x ˙ x ˙ + x x ̅ + 2 y ˙ y ˙ + y y ̅ = 0

1 2 x ̇ 2 + x x ̅ + 2 y ̇ 2 + y y ̅ = 0

Da mesmo forma, podemos reescrever a equação acima:

1 2 v x 2 + x a x + 2 v y 2 + y a y = 0

Note que v x é constante, dessa forma a x = 0 . Buscamos o caso em que x = 1 , y = 3 2 , v x = 10   m / s , e v y = - 2.887   m / s . Substituindo esses valores temos:

1 2 10 2 + 0 + 2 ( - 2.887 ) 2 + 3 2 a y = 0

a y = - 38.49   m / s 2 = 38.49   m / s 2 ↓

E calculamos a magnitude da aceleração:

a = a x 2 + a y 2 = 0 2 + ( - 38.49 ) 2 = 38.5   m / s 2

Resposta

A intensidade da velocidade da partícula é v = 10.4   m / s

A intensidade da aceleração da partícula é a = 38.5 m / s 2

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