Enunciado

O mecanismo apresentado oscila no plano vertical em torno do pino O . As molas, ambas de igual rigidez k , estão comprimidas na posição de equilíbrio θ = 0 . Determine uma expressão para o período τ das pequenas oscilações em torno de O . O mecanismo possui uma massa m com centro de massa em G , e o raio de giração do conjunto em relação a O e k O .

Passo 1

Vamos montar uma equação para os momentos em torno do ponto O :

∑ M O = I O θ ¨

Começamos pelo momento da força peso:

M g = - m g sen ⁡ θ r -

E temos também o momento M e l das forças elásticas exercido por cada uma das molas:

M e l = - F b cos ⁡ θ

M e l = - k   Δ x b cos ⁡ θ

M e l = - k   b sen ⁡ θ b cos ⁡ θ = - k b 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Perceba os dois momentos M e l e M g tem sinal negativo, pois ambos favorecem o retorno ao ponto de equilíbrio.

Então:

∑ M O = - m g sen ⁡ θ r - - 2 k b 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Onde considearmos o momento M e l das duas molas que seguram o “pêndulo”.

Passo 2

Agora vamos olhar para o outro lado da equação. O momento de inércia do sistema em relação ao ponto O pode ser calculado com o raio de giração que foi dadoO

I O = m k o 2

Então:

∑ M O = I O θ ¨

- m g sen ⁡ θ r - - 2 k b 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = m k O 2 θ ¨

E podemos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ e cos ⁡ θ ≅ 1 :

- m g r - + 2 k b 2 θ = m k O 2 θ ¨

θ ¨ + m g r - + 2 k b 2 m k 0 2 θ = 0

E então a frequência angular natural do sistema é:

ω n 2 = m g r - + 2 k b 2 m k 0 2

Com isso podemos calcular o período:

τ = 2 π ω = 2 π m g r - + 2 k b 2 m k 0 2

τ = 2 π k O 2 g r - + 2 k b 2 m

Resposta

O período de pequenas oscilações é τ = 2 π k O 2 g r - + 2 k b 2 m .

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