Enunciado

A barra uniforme de massa m é livremente articulada em torno de um eixo horizontal que atravessa o ponto O . Assuma pequenas oscilações e determine uma expressão para o fator de amortecimento ζ . Para qual valor c c r do coeficiente de amortecimento c o sistema será criticamente amortecido?

Passo 1

Vamos começar montando uma expressão para o momento resultante em relação ao ponto O :

∑ M O = I O θ ¨

Vamos fazer um diagrama para nos ajudar a calcular os momentos em relação ao ponto O :

Obs.: O amortecedor mostrado no desenho fornece uma força do tipo F = c v . No desenho, nós reescrevemos v = r ω = b ω .

Temos que multiplicar a magnitude de cada uma dessas forças pela sua distância perpendicular até o ponto O :

∑ M O = - k a sen ⁡ θ a cos ⁡ θ - c b ω b cos ⁡ θ

E podemos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ , cos ⁡ θ ≅ 1 e lembrar que ω = θ ˙ :

∑ M O = - k a 2   θ - c b 2   θ ˙

Passo 2

Agora vamos olhar para o outro lado da equação:

∑ M O = I O θ ¨

O momento de inércia I O do disco em relação ao ponto O é tabelado:

I O = 1 3 m b 2

Então:

- k a 2   θ - c b 2   θ ˙ = 1 3 m b 2 θ ¨

Reorganizando um pouco:

θ ¨ + 3 c m θ ˙ + 3 k a 2 m b 2 θ = 0

Queremos uma expressão para o coeficiente de amortecimento ζ . Vamos lembrar da forma geral da equação do oscilador harmônico:

θ ¨ + 2 ζ ω + ω 2 θ = 0

Comparando as duas equações, podemos dizer que:

2 ζ ω = 3 c m ω 2 = 3 k a 2 m b 2

Substituindo a segunda equação na primeira:

2 ζ 3 k a 2 m b 2 = 3 c m

Então:

ζ = 3 c 2 m   m b 2 3 k a 2 = c b 2 a   3 k m

Passo 3

Queremos achar c = c c r para que o sistema seja criticamente amortecido, precisamos da seguinte igualdade:

ζ = 1

c c r b 2 a   3 k m = 1

c c r = k m 3 2 a b

Resposta

O fator de amortecimento é ζ = c b 2 a   3 k m . E para ter amortecimento crítico, é preciso que c c r = k m 3 2 a b .

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