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A montagem consiste em quatro barras cortadas de uma mesma barra original. O elemento curvo é um arco circular de raio b . Determine as coordenadas y e z do centro de massa desta montagem.

Passo 1

Considerando a barra original como homogênea, as coordenadas podem ser calculadas pela seguinte relação:

Y - = L 1 y - 1 + L 2 y - 2 + L 3 y - 3 + L 4 y - 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Z - = L 1 z - 1 + L 2 z - 2 + L 3 z - 3 + L 4 z - 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Vamos então determinar as coordenadas do centro de massa para cada barra e seus comprimentos, e então determinaremos o centro de massa do conjunto.

Passo 2

Na barra vertical, temos claramente a coordenada y do centro de massa igual a zero e a coordenada z é a metade da barra:

L 1 = b

y - 1 = 0

z - 1 = b 2

Passo 3

Para as barras inclinadas 2 e 3, ambas de comprimento L 2 = L 3 = b , como elas estão no plano z = b temos:

z - 2 = z - 3 = b

Como consideramos as barras homogêneas, o centro de massa das duas fica no meio delas, que tem coordenada y dada por:

y - 2 = y - 3 = b cos ⁡ 30 ° 2 = 3 b 4

Passo 4

O arco tem o comprimento:

L 4 = 2 θ R = 60 ° × π 180 ° × b = π b 3

Como ele também está no plano z = b , então

z - 4 = b

A coordenada y do CM do arco é dada pela seguinte fórmula:

y - 4 = R sen ⁡ θ θ = b sen ⁡ 30 ° 30 ° × π 180 ° = b / 2 π / 6 = b 2 × 6 π = 3 b π

Passo 5

Como já temos todas as coordenadas e comprimentos, aplicamos as fórmulas:

Y - = L 1 y - 1 + L 2 y - 2 + L 3 y - 3 + L 4 y - 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 = ( b × 0 ) + b × 3 b 4 + b × 3 b 4 + π b 3 × 3 b π b + b + b + π b 3

= 3 b 2 4 + 3 b 2 4 + b 2 3 b + π b 3 = 3 + 2 b 2 2 ( 9 + π ) b 3 = 3 + 2 b 2 2 × 3 9 + π b = 3 3 + 2 π b 2 ( 9 + π ) ≈ 0,461 b

Z - = L 1 z - 1 + L 2 z - 2 + L 3 z - 3 + L 4 z - 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 = b × b 2 + b × b + b × b + π b 3 × b b + b + b + π b 3

= b 2 2 + 2 b 2 + π b 2 3 3 b + π b 3 = 5 2 + π 3 b 2 3 + π 3 b = 15 + 2 π 6 b 9 + π 3 = 15 + 2 π 6 b × 3 9 + π = 15 + 2 π b 2 9 + π ≈ 0,876 b

Resposta

Y - = 0,461 b

Z - = 0,876 b

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