Enunciado

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Mostre que, no caso de amortecimento supercrucial (c > c c ), um corpo nunca passa pela sua posição de equilíbrio O (a) se ele é liberado sem velocidade inicial de uma posição arbitrária, ou (b) se ele parte de O com uma velocidade inicial arbitrária.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? Mostre que, no caso de amortecimento supercrucial (c > c c ), um corpo nunca passa pela sua posição de equilíbrio O (a) se ele é liberado sem velocidade inicial de uma posição arbitrária, ou (b) se ele parte de O com uma velocidade inicial arbitrária.

Uma vez que c > c c , usamos equação, onde: λ 1 < 0 ,                   λ 2 < 0

x = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t

v = d x d t = c 1 λ 1 e λ 1 t + c 2 λ 2 e λ 2 t

Passo 2

(a) t = 0 ,                     x = x 0 ,                       v = 0 :    

Das equacoes anteriores: x 0 = c 1 + c 2

0 = c 1 λ 1 + c 2 λ 2

Resolvendo para c 1     e       c 2

c 1 = λ 2 λ 2 - λ 1 x 0

c 2 = - λ 1 λ 2 - x 1 x 0

Substituindo por c 1     e       c 2 na equação:

x = x 2 λ 2 - x 1 λ 2 e λ 1 t - λ 1 e λ 2 t

Pra x = 0 : quando t ≠ ∞ , nós devemos ter

λ 1 e λ 2 t - λ 2 e λ 1 t = 0   λ 2 λ 1   λ 2 - λ 1 t

Lembre-se disso: λ 1 < 0 ,                                   λ 2 < 0 .

Escolhendo λ 1 e λ 2 para que λ 1 < λ 2 < 0   nós tenhamos 0 < λ 2 λ 1 < 1   e     λ 2 - λ 1 > 0 .

Assim, uma solução positiva para t > 0 para a equação anterior não pode existir, uma vez que ela requeri que e elevado a uma potência positiva seja menor que 1, o que é impossível.

Assim, x nunca é 0.

Assim, x - t ,   a curva para este caso é como mostrado.

Passo 3

(b) t = 0 ,                     x = x 0 ,                       v = v 0 :    

Das equacoes anteriores: 0 = c 1 + c 2

v 0 = c 1 λ 1 + c 2 λ 2

Resolvendo para c 1     e       c 2 ,

c 1 = v 0 λ 2 - λ 1

c 2 = v 2 λ 2 - λ 1

Substituindo em equação anterior:

x = v 0 λ 2 - λ 1 e λ 2 t - e λ 1 t

Pra, x = 0 t ≠ α , e λ 2 t = e λ 1 t

Pra c > c c ,   λ 1 = λ 2 assim, nenhuma solução pode existir

para t e x nunca é 0. O x - t , é como mostrado.

Resposta

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