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Uma partícula que se desloca em um movimento bidimensional tem coordenadas em milímetros dadas por x = t 2 - 4 t + 20 e y = 3   s e n ( 2 t ) , onde t é o tempo em segundos. Determine os módulos da velocidade v e aceleração a e o ângulo θ entre estes dois vetores no instante t = 3   s .

Passo 1

Galera, a gente precisa montar os vetores velocidade e aceleração, e pra isso, vamos derivar cada expressão de x e y primeiramente, olha só:

x = t 2 - 4 t + 20

v x = x ' = 2 t - 4

a x = v x ' = 2

y = 3   s e n ( 2 t )

v y = y ' = 6 cos ⁡ ( 2 t )

a y = v y ' = - 12   s e n ( 2 t )

Assim, podemos escrever os vetores:

v = v x   i + v y   j = 2 t - 4   i + 6 cos ⁡ ( 2 t ) j   m m / s

a = a x   i + a y   j = 2   i - 12   s e n 2 t   j   m m / s 2

Passo 2

Show! Vamos agora calcular os módulos desses vetores, lembrando que:

v 2 = v x 2 + v y 2 = 2 t - 4 2 + 6 cos ⁡ ( 2 t ) 2

v 2 = 4 t 2 - 16 t + 16 + 36 cos 2 ⁡ ( 2 t )

v = 4 t 2 - 16 t + 16 + 36 cos 2 ⁡ ( 2 t )

Então, substituindo t = 3   s :

v = 6,10   m m / s

Analogamente fazemos para a aceleração:

a 2 = a x 2 + a y 2 = 2 2 + - 12   s e n 2 t 2

a 2 = 4 + 144   s e n 2 ( 2 t )

a = 4 + 144   s e n 2 ( 2 t ) = 2 1 + 36   s e n 2 2 t

Para t = 3   s :

a = 3,90   m m / s 2

Passo 3

Beleza! Agora, para calcular o ângulo θ que os vetores velocidade e aceleração fazem entre si, será útil primeiro calcular os ângulos θ v e θ a que cada vetor faz com o eixo x quando t = 3   s . Olha só:

t g   θ v = v y v x                     e                     t g   θ a = a y a x

t g   θ v = 6 cos ⁡ ( 2 t ) 2 t - 4 ≈ 5,761 2 ≈ 2,88

θ v = t g - 1 2,88 ≈ 70,8 °

Analogamente, achamos θ a :

t g   θ a = - 12   s e n ( 2 t ) 2 ≈   3,353 2 ≈ 1,68

θ a = t g - 1 1,68 ≈ 59,2 °

Finalmente, para obter θ , basta subtrair os dois ângulos encontrados:

θ = θ v - θ a = 11,6 °

Resposta

v = 6,10   m m / s

a = 3,90   m m / s 2

θ = 11,6 °

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